Vectores y otras cosas

Question

Halla las componentes de todos los vectores v que tienen longitud 2 y son perpendiculares a las dos rectas $x = 4 + 3t, y = 2 − t, z = 1 + 5t$ y $x − y + z = 2$ , $3x + 2y − 4z = 6$ .

Hasta ahora sé que el vector $(1, -1, 1)$ es normal a la línea $x-y+z=2$ y también lo es $<3, 2, -4>$ a la línea $3x+2y-4z=6$ . Así que tomé sus productos cruzados, y eso me da el vector perpendicular a esas líneas.

Para la línea dada en forma paramétrica, estoy empezando a confundirme, ¿no tengo que sustituirlas en una de las ecuaciones, es decir $(4+3t) - (2-t) + (1+5t) = 2$ ? Lo estoy haciendo y el valor que obtengo para t no satisface la ecuación. No estoy seguro de si estoy en el camino correcto o no :(

Answer 1

Estoy asumiendo que su segunda línea es la intersección de los dos planos $x-y+z=2$ y $3x+2y-4z=6$ a saber: $(2+2t,7t,5t)$ .

Lo que queda entonces es encontrar los vectores perpendiculares a $(4+3t,2-t,1+5t)$ y $(2+2t,7t,5t)$ . Para ello se toma el producto cruzado de los vectores de dirección de cada línea y se obtiene $v=(-40,-5,23)$ .

La pregunta pide todos los vectores de longitud 2 por lo que obtenemos $$w=\pm\frac{2v}{||v||}=\pm\frac{2}{\sqrt{2154}}\begin{pmatrix}-40\\-5\\23\end{pmatrix}$$