Un conjunto ordenado/parcialmente ordenado debe satisfacer la $x \leqslant y$ y $y \leqslant x$ , $\implies x=y$ (antisimetría) axioma. ¿Existen teorías viables en las que se debilite esta condición? Evidentemente, si simplemente se abandona, la $\leqslant$ La relación puede ser cualquier cosa (cualquier función de un conjunto a un conjunto ordenado induce dicha relación). ¿Hay alguna forma sensata de hacerlo? Conceptualmente quizás $x=y$ puede sustituirse por " $x$ está cerca de $y$ ", pero ¿cómo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Una relación reflexiva y transitiva se conoce como preordenar o cuasi-orden . Hay muchos ejemplos:
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La relación de divisibilidad de los enteros es un preorden. En efecto, para todo $x,y,z \in \mathbb{Z}$ tenemos $x \mid x$ y si $x \mid y$ y $y \mid z$ entonces $x \mid z$ . Pero no es antisimétrico, ya que por ejemplo $1 \mid {-1}$ y ${-1} \mid 1$ pero $1 \ne {-1}$ .
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Dada una teoría lógica $T$ la relación sobre el conjunto de $T$ -sentencias definidas por $p \le q$ si $T$ prueba $p \Rightarrow q$ es un pedido previo. Sin embargo, no es generalmente antisimétrico; ya que distintas sentencias pueden ser probadamente equivalentes en $T$ .
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Dado un espacio topológico $X$ la relación en $X$ definido por $x \le y$ si $x \in U$ para todos los conjuntos abiertos $U$ que contiene $y$ es un pedido previo. Sí, es cierto, $x$ está contenida en toda vecindad que contenga $x$ Así que $x \le x$ y si $x \le y$ y $y \le z$ entonces cualquier conjunto abierto que contenga $z$ contiene $y$ y, por tanto, contiene $x$ para que $x \le z$ .
Si $\le$ es una relación de preorden sobre un conjunto $X$ entonces la relación $\sim$ en $X$ definido por $$x \sim y \Leftrightarrow x \le y \text{ and } y \le x$$ define una relación de equivalencia en $X$ y $\le$ desciende a una relación de orden parcial sobre el cociente $X / {\sim}$ (es decir, el conjunto de clases de equivalencia), definido por $$[x]_{\sim} \le [y]_{\sim} \Leftrightarrow x \le y$$ Se puede comprobar fácilmente que se trata de un orden parcial bien definido. (Supongo que de ahí viene el "preorden": se puede convertir en un orden parcial tomando un cociente). Por ejemplo
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En el caso de la divisibilidad en los enteros, $\mathbb{Z} / {\sim}$ es (de orden isomorfo a) el conjunto de los números naturales con la relación de divisibilidad (que es una orden parcial sobre $\mathbb{N}$ ).
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En el caso de $T$ -de las frases, el cociente se denomina Álgebra Lindenbaum que tiene un montón de buenas propiedades.
ciberandy
Puntos
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Como una extensión de algo que Clive tocó - estos "pre-pedidos" son equivalentes a $A$ -espacios: espacios topológicos en los que los conjuntos abiertos son cerrados bajo intersecciones arbitrarias (no sólo finitas) (así como uniones arbitrarias, como es habitual).
Clive ya ha explicado una dirección - dado cualquier espacio topológico $X$ podemos definir un preorden en él mediante $x\le y$ si $x\in\text{Cl}(\{y\})$ . Esto se denomina preorden de especialización en el espacio $X$ .
Ahora tenemos que preguntar - dado un conjunto $X$ y un pedido anticipado $\le$ en $X$ ¿existe siempre un espacio topológico tal que $\le$ es el preorden de especialización en $X$ ? La respuesta es sí : toma los conjuntos abiertos para que sean conjuntos superiores es decir, los subconjuntos $U\subset X$ tal que para todo $x,y\in X$ :
$$X\in U,x\le y\Rightarrow y\in U$$
Esta topología se denomina topología de pedidos correspondiente al preorden $\le$ .
Ahora bien, si empezamos con un espacio $X$ , toma la preorden de especialización $\le$ en $X$ y formar la topología de orden, no siempre terminamos con $X$ de nuevo: en efecto, si $X=\mathbb R$ con la topología habitual, entonces el preorden $\le$ es la ordenación discreta ( $x\le y\Leftrightarrow x=y$ ), ya que $\mathbb R$ es un $T_1$ (los monotonos son cerrados), y la topología de orden correspondiente es la topología discreta sobre $\mathbb R$ .
Sin embargo, si nos limitamos a $A$ -se obtiene una equivalencia. Obsérvese que un conjunto con un orden topoógico es siempre un $A$ -espacio; de hecho, si empezamos con un $A$ -espacio, tomar el preorden de especialización y luego tomar la topología de orden, terminamos de vuelta donde empezamos.
Quizá quieras volver a demostrar todas estas afirmaciones. No son difíciles.
Ejemplo: claramente todos los espacios topológicos finitos son $A$ -espacios. ¿Qué nos dice esto sobre los espacios topológicos finitos?
Siempre es útil considerar el caso cuando $\le$ es un orden parcial completo. El $A$ -Los espacios correspondientes a las órdenes parciales son los $T_0$ $A$ -espacios. Recordemos que un espacio topológico es $T_0$ si dos puntos cualesquiera $x,y$ son topológicamente distinguibles: o bien existe un conjunto abierto que contiene $x$ y no $y$ o existe un conjunto abierto que contiene $y$ y no $x$ .
De hecho, no tenemos que limitarnos a $A$ -espacios: un espacio topológico es $T_0$ si y sólo si su preorden de especialización es un orden parcial.
No $T_0$ (con la excepción de la topología indiscreta) no aparecen mucho, pero sí surgen de forma natural cuando hablamos de pseudometría . Una pseudométrica es como una métrica, pero omitimos el requisito de que $d(x,y)=0\Rightarrow x=y$ (si quieres, esta es la ley de antisimetría para la métrica). Podemos formar un espacio topológico de la misma manera que lo haríamos con una métrica verdadera, pero este espacio no será $T_0$ .
Un ejemplo de pseudométrico: dejemos que $X$ sea el espacio de todas las funciones integrables sobre $[0,1]$ y definir una métrica por $$ d(f,g)=\int_0^1|f(x)-g(x)|dx $$
Entonces, si $f$ y $g$ acordar un conjunto de medidas $1$ Tendremos $d(f,g)=0$ aunque $f\ne g$ . Forma la topología de la manera habitual, y toma el preorden de especialización, y tienes un preorden que no es un orden parcial, ¡surgiendo de manera seminatural!
