$1!+2!+\ldots+n!$ no puede ser el cuadrado de un número entero positivo

Question

Tengo que demostrar que $1!+2!+\ldots+n!$ no puede ser el cuadrado de un entero positivo, $\forall n\geq4$.

He intentado hacer esto con inducción, pero no parece que llegue a ninguna conclusión satisfactoria.

Cualquier pista servirá.

Answer 1

Pista: Primero, averigua si puedes mostrar que ningún cuadrado perfecto puede ser equivalente a $3 \pmod{10}$.

A partir de aquí, ten en cuenta que $n! \equiv 0 \pmod{10}$ para todo $n \geq 5$.

Por lo tanto, obtenemos:

$$\sum\limits_{k=1}^nk! \equiv 1! + 2! + 3! + 4! \equiv 33 \equiv 3 \pmod{10}$$

Answer 2

Observa que 1! + 2! + 3! + 4 !=33. Y a partir de 5! todos los demás números terminarán con 0 como su último dígito. Entonces, cuando tomas la suma hasta n! con n mayor o igual a 4, puedes ver que el último dígito de la suma será 3. Por lo tanto, no existe un entero positivo cuyo cuadrado termine con 3 como último dígito o como dígito de la unidad. Por lo tanto, la suma no puede ser el cuadrado de un entero positivo.

Answer 3

El cuadrado de un entero siempre es congruente a $0,1\pmod 4$.

¡Espero que esto ayude!