Transformaciones lineales en el anillo matricial

Question

El problema es que se supone $M_2(R)$ es un anillo matricial sobre números reales y $T,S\colon M_2(R) \to M_2(R)$ transformaciones lineales biyectivas (es decir, mapas). Y supongamos que se cumple lo siguiente: $T(x)\cdot S(x) = S(x)\cdot T(x)$ y $T^2(x)\cdot S^2(x) = S^2(x)\cdot T^2(x)$ para todos $x\in M_2(R)$ , donde " $\cdot$ " la multiplicación matricial habitual y $T^2(x)$ significa composición de $T$ es decir $T^2(x)=T(T(x))$ . Demostrar que existe $\lambda\in R$ tal que $T(x)=\lambda S(x)$ para todos $x\in M_2(R)$ .

Mi intento. Poner $P = ST^{-1}$ -una transformación lineal biyectiva. Entonces tenemos $P(x)\cdot x = x\cdot P(x)$ para todos $x\in M_2(R)$ . Supongamos que $e_{1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $e_{2}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $e_{3}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $e_{4}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ base estándar de $M_2(R)$ y $P(e_k)=\alpha_{k1}e_1+\alpha_{k2}e_2+\alpha_{k3}e_3+\alpha_{k4}e_4$ , $k=1,2,3,4$ y $\alpha_{ij}\in R$ . Entonces, utilizando el hecho $P(e_k)\cdot e_k = e_k\cdot P(e_k)$ Obtengo que $\alpha_{12}=\alpha_{13}=\alpha_{23}=\alpha_{32}=\alpha_{42}=\alpha_{43}=0$ , $\alpha_{21}=\alpha_{24}$ , $\alpha_{31}=\alpha_{34}$ $\alpha_{22}=\alpha_{33}$ y $\alpha_{11}-\alpha_{14}=\alpha_{44}-\alpha_{41}$ . Pero eso no es suficiente para demostrar que $P(x)=\lambda x$ para todos $x\in M_2(R)$ . De hecho, si consideramos la siguiente transformación lineal $P(\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 2x_{11}+x_{12}-x_{21}+x_{22} & x_{12} \\ x_{21} & x_{11}+x_{12}-x_{21}+2x_{22} \end{pmatrix}$ entonces tenemos $P(x)\cdot x = x\cdot P(x)$ para todos $x\in M_2(R)$ . Y aquí me di cuenta de que no he utilizado el hecho de que $T^2(x)\cdot S^2(x) = S^2(x)\cdot T^2(x)$ para todos $x\in M_2(R)$ . Pero si ponemos $Q = S^2T^{-2}$ que no sabemos que $Q=P^2$ y el argumento anterior no funciona. Entonces, ¿cómo resolver el problema? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

La afirmación no es cierta. Contraejemplo: $T(x)=x$ y $S(x)=x+\operatorname{tr}(x)I_2$ .