Separar las probabilidades de la probabilidad "conjunta"

Question

Supongamos que tengo un vector binario $v$ que es copiado dos veces por dos máquinas distintas $M$ y $N$ , lo que da lugar a dos nuevos vectores $x$ y $y$ .

Ambas máquinas son defectuosas en el sentido de que pueden no copiar correctamente cada carácter. Más formalmente, $M$ tiene un vector asociado $e_M$ de longitud $|v|$ , donde $(e_M)_i$ es la probabilidad de que el bit $i$ en $M$ se invertirá en $M$ (y $N$ tiene un vector asociado similarmente definido, pero no necesariamente idéntico $e_N$ ).

Preguntas:

1. si la única información que recibo es $x$ , $y$ y dos números reales $p$ y $q$ describir las probabilidades de que se haya cometido un error al producir $x$ y $y$ (es decir $p$ es la probabilidad de que $M$ cometió un error al producir $x$ de $v$ y $q$ es la probabilidad de que $N$ cometió un error al producir $y$ de $v$ ), ¿hay alguna manera de reconstruir, o aproximar $e_M$ y $e_N$ ?

2. ¿la respuesta a la pregunta 1 depende de $|v|$ (que, por supuesto, se supone que es al menos $2$ para que esta pregunta tenga sentido), y si es así, ¿cómo?

(todas las disculpas si la pregunta es trivial, y si no estoy utilizando los términos correctos)

Answer 1

$1-p$ le da el producto de $(1-(e_M)_i)$ en $i$ y de forma similar para $1-q$ . Si sólo tiene un juego de $x$ y $y$ y no saben nada de la $(e_M)_i$ y $(e_N)_i$ no hay esperanza. Incluso si consigues un montón de $x,y$ pares pero no se obtiene ninguna información de lo que es la verdad todo lo que se puede decir es la combinación de tasas de error por bit. La probabilidad de desacuerdo en un bit determinado es $e_M+e_N-e_M*e_N$ pero no se puede resolver más que eso.