En un espacio métrico $(S,d)$ , supongamos que $x_n \to x$ y $y_n \to y$ . Demostrar que $d(x_n, y_n) \to d (x, y)$ .

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico y $(x_n)$ , $(y_n)$ sean secuencias en $X$ .

(a) Si $x_n \to x$ y $y_n \to y$ , demuestre que $d(x_n,y_n) \to d(x,y)$ .

(b) Si $x_n$ y $y_n$ son secuencias de Cauchy en $X$ demostrar que la secuencia real $d(x_n,y_n)$ es convergente.

Prueba. (a) ¿Es esto correcto?: Sea $x,y,w,z∈X$ . La desigualdad del triángulo implica que $|d(x,z)-d(w,y)| \leq d(x,y)+d(z,w)$ Así que

$|d(x_n,y_n)-d(x,y)| \leq d(x_n,x)+d(y_n,y)$

lo que implica que $d(x_n,y_n) \to d(x, y)$ como $n \to ∞$ si $d(x_n,x) \to 0$ y $d (y_n, y) \to 0$ .

(b) No tengo ideas, ¿me ayudas por favor?

Answer 1

Ya que parece que tienes la parte (a) cerrada, responderé a la parte (b).

Dejemos que $\epsilon \gt 0$ se dé. Dado que $\{x_n\}$ es Cauchy, $\exists N_1$ tal que $\forall n,m \ge N_1, d(x_n,x_m) \lt \frac\epsilon2$ . Asimismo, dado que $\{y_n\}$ es Cauchy, $\exists N_2$ tal que $\forall n,m \ge N_2, d(y_n,y_m) \lt \frac\epsilon2$ . Toma $N = max(N_1, N_2)$ .

Entonces $\forall n,m \ge N$ tenemos $d(x_n, y_n) \le d(x_n, x_m) + d(x_m, y_m) + d(y_n, y_m)$ para que $d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m) \le d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m) \lt \frac\epsilon2 + \frac\epsilon2 = \epsilon$ .

De la misma manera, $\forall n,m \ge N$ tenemos $d(x_m, y_m) \le d(x_m, x_n) + d(x_n, y_n) + d(y_m, y_n)$ para que $d(x_m, y_m) - d(x_n, y_n) \le d(x_m, x_n) + d(y_m, y_n) \lt \frac\epsilon2 + \frac\epsilon2 = \epsilon$ .

Así, hemos demostrado que $\forall \epsilon \gt 0 \exists N$ tal que $d(d(x_n,y_n),d(x_m,y_m)) \lt \epsilon$ para que la secuencia $\{d(x_n,y_n)\}$ es Cauchy y por tanto convergente.

Answer 2

Tu prueba de a tiene buena pinta.

Para b, es la misma idea que para a, pero no tienes acceso a $x$ y $y$ . Por lo tanto, es necesario utilizar $d(x_n,x_m)$ y $d(y_m,y_m)$ para un tamaño suficientemente grande $n$ y $m$ para demostrar que la secuencia $d(x_n,y_n)$ es Cauchy, y por tanto convergente.

Answer 3

En la parte (a), tu prueba es correcta. Yo incluiría una prueba de la observación clave, a saber, que

La desigualdad del triángulo implica que $|d(x,z)-d(w,y)| \le d(x,y)+d(z,w)$ .

Para la parte (b), sea $(X',d')$ sea el finalización de $(X,d)$ . Ahora tienes que las secuencias de Cauchy $x_n$ y $y_n$ convergen, por lo que la parte (a) te da inmediatamente el resultado.