aproximación de la integral divergente

Question

Quiero calcular la integración de esta función:

$$ \int_{-\infty }^\infty { 1\over \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}} dy $$ donde $ a $ y $ b $ son las constantes. La integral resulta ser $$ \ln \left ( \left | \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} + y -b \right | \right ) + C $$ Que es de naturaleza divergente sobre los límites. Tengo las siguientes preguntas:

1. ¿Hay alguna otra forma de tratar estas integrales?

   2. ¿Hay alguna forma de encontrar alguna función aproximada de esto que no tenga este problema de divergencia?

Soy bastante nuevo en estas cosas, así que perdón por cualquier error en este post. gracias por cualquier ayuda de antemano.

La pregunta anterior ya ha sido contestada por el Dr. MV, tengo una duda al seguir la misma regla en la segunda mitad de mi ecuación: $$ \int_{-\infty }^\infty { y\over \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}} dy $$ la integral de esto resulta ser $$ \ln \left ( \left | \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} + y -b \right | \right ) + \sqrt {(x-a)^2 + (y-b)^2} + C $$

esta función sigue siendo divergente. ¿hay alguna forma de solucionar esto

gracias por cualquier ayuda

Answer 1

La integral de interés no existe ni siquiera como Valor principal de Cauchy . Para ver esto, escribimos

$$\begin{align} \text{PV}\left(\int_{-\infty }^\infty { 1\over \sqrt{(x-a)^2 - (y-b)^2}} dy\right)&=\lim_{L\to \infty}\int_{-L}^L \frac{1}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}\,dy\\\\ &=\lim_{L\to \infty} \left. \left(\log\left((y-b)+\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\right)\right)\right|_{-L}^L\\\\ &=\lim_{L\to \infty}\log\left(\frac{(L-b)+\sqrt{(x-a)^2+(L-b)^2}}{-(L+b)+\sqrt{(x-a)^2+(L+b)^2}}\right)\\\\ &= \infty \end{align}$$

Si queremos analizar el comportamiento de la integral antes de pasar al límite, podemos proceder como sigue.

$$\begin{align} \log\left(\frac{(L-b)+\sqrt{(x-a)^2+(L-b)^2}}{-(L+b)+\sqrt{(x-a)^2+(L+b)^2}}\right)&=\log\left(\frac{(L-b)\left(\sqrt{1+\left(\frac{x-a}{L-b}\right)^2}+1\right)}{(L+b)\left(\sqrt{1+\left(\frac{x-a}{L+b}\right)^2}-1\right)}\right)\\\\ &\sim 2\log(L) \end{align}$$