prueba por inducción matemática relacionada con la geometría

Question

Q :Considerar $n+2$ Si los puntos consecutivos a lo largo del círculo están unidos por segmentos de línea que crean un polígono con $n+2$ lados entonces la suma de los ángulos interiores del polígono resultante es igual a $180n$ grado.
Mi enfoque :Es trivial cuando $n=1$ formando un triángulo.Pero cómo demostrarlo para el paso Inductivo $n+1$ Hacer un triángulo me da una intuición, pero ¿cómo expresarlo matemáticamente? Puede alguien darme algunos consejos para este tipo de inducción matemática Cualquier sugerencia o solución será apreciada.
Gracias por adelantado.

Answer 1

Usando la inducción, ya has demostrado que es cierto para $n = 1$ es decir, para $3$ puntos, la suma es $180^\circ$ .

A continuación, supongamos que es cierto para todos $n \le m$ para algunos $m \ge 1$ es decir, la suma de los ángulos interiores de $n + 2$ puntos distintos es $180n^\circ$ . Al pasar de un círculo con $n + 2$ a $n + 3$ puntos, el siguiente punto debe estar entre $2$ puntos más cercanos ya existentes en el círculo. Dibuja una línea desde cada uno de ellos $2$ puntos más cercanos al nuevo punto (por ejemplo, como en el círculo de la derecha, un punto entre los puntos finales de la línea horizontal sobre el " $2$ "). Como estos son los puntos más cercanos, las nuevas líneas no se cruzan con ninguna línea existente y, por tanto, forman un nuevo triángulo. Sumando los ángulos de este nuevo triángulo, con una suma de $180^\circ$ a los existentes da una suma de ángulos interiores de $180\left(n+1\right)^\circ$ .

Por lo tanto, si es cierto para $n$ debe ser cierto para $n + 1$ . Esto completa el proceso de inducción para demostrar que es cierto que la suma de los ángulos interiores de $n + 2$ puntos distintos en un círculo es $180n$ grados para todos $n \ge 1$ .

Para tu información, aquí tienes un método alternativo que puedes utilizar sin inducción. Para $n + 2$ puntos, dibuja las líneas desde el centro del círculo hasta cada uno de estos puntos. Esto formará $n + 2$ triángulos. Así, la suma de los ángulos de todos estos triángulos es $180\left(n + 2\right)$ grados. Sin embargo, esto incluye los ángulos en el centro del círculo, que juntos suman $360$ grados. Por lo tanto, al restar esto se obtiene que la suma de los ángulos internos es $180n$ grados.