Cuando una extensión de anillo algebraico simple de un UFD es un UFD

Question

Dejemos que $k$ sea un campo y que $R$ sea un UFD, que es un $k$ -de la álgebra. Sea $w$ sea un elemento algebraico sobre $R$ es decir, existe un polinomio $f(T) \in R[T]$ tal que $f(w)=0$ . Denote $S=R[w]$ .

Ejemplos:

(1) $R=k[x^2]$ , $w=x^3$ , $f(T)=T^2-x^2x^2x^2$ , $S=k[x^2,x^3]$ .

(2) $R=\mathbb{Z}$ , $w=\frac{1}{2}$ , $f(T)=2T-1$ , $S=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ .

(3) $R=\mathbb{Q}$ , $w=\sqrt{2}$ , $f(T)=T^2-2$ , $S=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ .

(4) $R=\mathbb{R}$ , $w=i$ , $f(T)=T^2+1$ , $S=\mathbb{R}[i]=\mathbb{C}$ .

Si no me equivoco, $S$ es un UFD + $w$ es primo o invertible en $S$ , en ejemplos (2) , (3) , (4) . Por el contrario, $S$ no es un UFD y $w$ no es un primo ( $x^3$ divide $x^2x^2x^2$ pero $x^3$ no divide $x^2$ ) ni invertible en el ejemplo (1) .

Mi reclamación: Si $w$ es un elemento primo de $S$ (o un elemento invertible de $S$ ), entonces $S$ también es un UFD.

Pregunta: ¿Es cierta mi afirmación? Al menos si $w$ es un elemento primo de $S$ . No me importa asumir además que $k=\mathbb{C}$ . De hecho, según el primer comentario de este pregunta, $x^2+1$ es primo en $S=\mathbb{R}[x^3][x^2+1]=\mathbb{R}[x^3][x^2]$ , pero $S$ no es un UFD, por lo que debemos asumir que $k=\mathbb{C}$ .

Observación: $w \in S$ es un elemento primo en $S$ si $(w)$ es un ideal primo en $S$ si $S/(w)$ es un dominio integral.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Es fácil generalizar la $k=\mathbb{R}$ contraejemplo que usted cita a la $k=\mathbb{C}$ caso.

Dejemos que $R=\mathbb{C}(t)[x^3]$ y que $w=x^2-t$ . Entonces $S=R[w]$ no es un UFD; para $S\cong\mathbb{C}(t)[x^3,x^2]$ que admite dos factorizaciones de $x^6$ .

Pero $w$ es primo en $S$ , como \begin {align*} S/(w)&= \mathbb {C}(t)[x^3,x^2]/(x^2-t) \\ &= \mathbb {C}(t)[tx,t]/(x^2-t) \\ &= \mathbb {C}(t)[x]/(x^2-t) \\ & \cong\mathbb {C}(t)[ \sqrt {t}] \\ & \cong\mathbb {C}( \sqrt {t}) \end {align*} es un dominio integral.

Para una dimensión finita (sobre $k$ ), se puede tomar $R/(x^9)$ y proceda como en el caso anterior. No importa, eso es una dimensión finita sobre $\mathbb{C}(t)$ pero no $\mathbb{C}$ . De hecho, no hay contraejemplos de dimensión finita, ya que entonces $R$ sería artiniano y (desde un dominio) un campo. Pero $\mathbb{C}$ no tiene extensiones de campo de grado finito no triviales.