La inusual fórmula de Gosper que conecta $e$ et $\pi$

Question

Wolfram MathWorld comillas (véase la ecuación $(26)$ )

Gosper da la inusual ecuación que conecta $\pi$ et $e$ $$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\cos\left(\frac{9}{n\pi + \sqrt{n^{2}\pi^{2} - 9}}\right) = -\frac{\pi^{2}}{12e^{3}}\tag{1}$$

No he encontrado ninguna referencia a un artículo en el que Gosper demostrara la fórmula anterior. Estoy perplejo por este término del coseno en la fórmula y no parece parecerse a ninguna serie conocida. Una prueba directa de esta fórmula sería muy apreciada. O si alguien conoce el artículo de Gosper en el que se establece esta fórmula, facilite un enlace a dicho artículo.

Actualización : Podemos ver que $$\frac{9}{n\pi + \sqrt{n^{2}\pi^{2} - 9}} = n\pi - \sqrt{n^{2}\pi^{2} - 9}\tag{2}$$ y señalando que $\cos(n\pi - \alpha) = (-1)^{n}\cos \alpha$ podemos ver que la fórmula de Gosper se puede escribir como $$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos\sqrt{n^{2}\pi^{2} - 9} = -\frac{\pi^{2}}{12e^{3}}\tag{3}$$ Creo que la fórmula dada por Gosper es probablemente un caso especial de una fórmula más general para la suma $$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos\sqrt{n^{2}\pi^{2} + a^{2}}\tag{4}$$ (la fórmula $(3)$ corresponde a $a = 3i$ ). Parece que Gosper también es aficionado a las fórmulas extrañas como Ramanujan.

Answer 1

Conozco este resultado general: $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl({k\pi-\sqrt{k^2\pi^2-a^2}\,}\bigr)}{k^2}=\frac{\pi^2}{12}\,\bigl({-\cosh(a)+\frac{3}{a}\sinh(a)}\bigr) $$

y puedes ver este documento: Sobre algunas fórmulas de suma extrañas de R. William Gosper 1993 puede descargar por: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255987146