¿Cómo se puede resolver esta convolución?

Question

Dejemos que $c$ sea una constante positiva y que $f(t)=\delta(t-c)$ . Calcula $f*g$ . Así que al establecer la integral, obtengo $$ (f*g) = \int_0^t \delta (t-\tau-c) g(\tau) d\tau$$ No estoy seguro de cómo tomar la integral de la función delta. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

La "función" delta no es estrictamente una función, sino una distribución que es un funcional lineal continuo en un espacio de funciones de prueba. Envía una función de prueba $g$ sobre su valor en $0$ :

$$\delta(g)=g(0)$$

Puede pensar en $\delta(g)$ como " $\int \delta(\tau)g(\tau)d\tau$ ". Sin embargo, tenga en cuenta que no existe una función real $\delta$ tal que $\int \delta(\tau)g(\tau)d\tau=g(0)$ para cada función de prueba $g$ .

Ahora bien, si $\phi$ es cualquier distribución y $g$ es una función de prueba, entonces

$$\phi*g(t)=\phi(g(t-\cdot))$$

Esto está motivado por el caso de que $\phi$ es una función: en ese caso

$$\phi(g(t-\cdot))=\int g(t-\tau) \phi(\tau)d\tau$$

Su distribución es la $\delta$ distribución desplazada por $c$ Es decir $f(g)=g(c)$ . Por lo tanto,

$$f*g(t)=g(t-c)$$

Answer 2

Si quiere computar $f*g$ Es decir $$(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-c-\tau)g(\tau)d\tau=g(t-c)$$