Supongamos que $C$ es cualquier punto de un círculo, por encima de un diámetro $AB$ . $P$ y $Q$ son puntos de los arcos menores $\widehat{AC}$ y $\widehat{BC}$ . Demostrar que $$\angle APC + \angle CQB = \frac32\pi$$ Actualmente dibujé la forma $APCQB$ sea un pentágono dentro del círculo y que $\angle APC =\alpha, \angle CQB=\beta$ . Intenté usar el diámetro para crear ángulos rectos para generar una ecuación usando la suma de ángulos = $3\pi$ , trató de introducir quads cíclicos también, el diagrama se llenó demasiado y no llegaba a ninguna parte. ¿Alguna ayuda, por favor?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que $O$ es el centro del círculo.
Un ángulo inscrito en una circunferencia, desde algún punto del arco mayor entre dos puntos, es la mitad del tamaño del ángulo central hasta los mismos dos puntos (véase, por ejemplo Wikipedia .) Por otro lado, un ángulo inscrito desde un punto del arco menor entre dos puntos es el suplemento de éste, es decir $\pi$ menos la mitad del ángulo central. (ver por ejemplo aquí .) Por ejemplo, $\angle APC = \pi - \frac 1 2 \angle AOC$ . También, $\angle CQB = \pi - \frac 1 2 \angle COB$ .
Por supuesto, $\angle AOC + \angle COB = \pi$ . Así que $\angle APC + \angle CQB = 2 \pi - \frac 1 2 \pi$ .
