Las células k están conectadas

Question

Estoy estudiando el análisis real de Baby Rudin, y aunque el libro demuestra que los intervalos reales son conexos, no dice nada respecto a las celdas k. Yo esperaría que también estuvieran conectados, pero no sé cómo demostrarlo.

Estaba pensando que si fuera capaz de probarlo: $A\subset\mathbb{R^n}$ conectado , $B\subset\mathbb{R^m}$ conectado $\Rightarrow$ $A\times B$ está conectado (como subconjunto de $A\subset\mathbb{R^{n+m}}$ ), entonces el teorema se seguiría por inducción utilizando que $[a,b]$ está conectado. Sin embargo, no estoy seguro de cómo probar esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Por ahora, vamos a trabajar en $\mathbb{R}^2$ y considerar algunos $k$ -célula $S = [a, b] \times [c, d]$ .

Supongamos por contradicción que existe una separación para $S$ . Es decir, hay conjuntos eixsts $A$ y $B$ tal que $S = A \cup B$ y $A \cap B = A \cap \overline{B} = \overline{A} \cap B = \emptyset$ .

Elija cualquier punto $x \in A$ y $y \in B$ y considere el segmento de línea $L$ conectándolos. Ciertamente, $L \subset S$ y la separación anterior induciría una separación en $L$ . En particular:

$$L = (A \cap L) \cup (B \cap L)$$

Y además, como $A$ y $B$ están separados:

$$(A \cap L) \cap (B \cap L) = (\overline{A \cap L}) \cap (B \cap L) = (A \cap L) \cap (\overline{B \cap L}) = \emptyset$$

Esto es una contradicción, ya que los segmentos de línea están conectados.

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Ahora bien, esto es dar por sentado que los segmentos de la línea están conectados, lo que debería deducirse de los segmentos en $\mathbb{R}$ que se conectan. Por un lado, existe una función continua $f:[0, 1] \rightarrow L$ .

El punto es que se puede probar que, si $A$ está conectado y $f$ es continua, entonces $f(A)$ también está conectado. Lo lamentable es que Rudin no introduce la continuidad hasta el capítulo 4.

En cualquier caso, este argumento debería generalizarse a $k$ -células en $\mathbb{R}^n$ .

Answer 2

Si refuerza su demanda de conexión del camino su paso de inducción será fácil ya que dos puntos dados cualesquiera $(a_1, b_1), (a_2, b_2) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ pueden conectarse a $(a_2, b_1)$ por suposición.

Puesto que los intervalos son trivialmente conectados por trayectorias y la conexión por trayectorias implica la conexión (que es fácil de mostrar sabiendo que los intervalos están conectados) esto demuestra tu afirmación.

Answer 3

Pista: Demuestra que todos los conjuntos convexos están conectados (una prueba del tipo "sigue tu nariz" empezando con la definición de convexidad), luego demuestra que todas las celdas k son convexas (lo que también es una prueba del tipo "sigue tu nariz"). -Espero que esto ayude.