Encontrar el menor número a tal que $a! > 3^a$ para el número natal $n$ en la declaración $n! > 3^n$

Question

Estoy haciendo matemáticas discretas como asignatura en mi universidad y me han pedido que resuelva la siguiente ecuación, sin embargo tengo problemas para entender tanto lo que me pide como lo que tengo que hacer para obtener la respuesta.

Necesito encontrar el número natural más pequeño $a$ tal que $a! > 3^{a}$ . Ahora para $n$ un número natural deje CLAIM( $n$ ) sea la declaración:

$$n! > 3^{n}$$

Demostrar que CLAIM( $n$ ) es verdadera para todos los $n \ge a$ .

Answer 1

En realidad tienes que hacer dos cosas:

1. Encuentra el número natural más pequeño $a$ tal que $a!>3^a$ . Para ello, primero intente introducir algunos valores para $a$ y ver qué pasa. $$1!=1, 3^1=3\\2!=2, 3^2=9\\3!=6, 3^3=27\\4!=24, 3^4=81$$ ¿Puede continuar?
2. Demostrar que la afirmación es cierta para todos $n\geq a$ . Una vez que haya encontrado $a$ se puede demostrar esta afirmación por inducción. La afirmación es obviamente cierta para $n=a$ (ya que así es como $a$ se define), por lo que sólo hay que demostrar que si es cierto para $n$ también es cierto para $n+1$ . Por lo tanto, usted asume que $$n!>3^n$$ y tratas de demostrar que $$(n+1)!>3^{n+1}.$$ Utilizando el hecho de que $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ y $3^{n+1}=3\cdot 3^n$ debería facilitar la tarea.