Cómo resolver un sistema de tres ecuaciones

Question

Tengo estas ecuaciones como un sistema

$2x+3y-2z=2$

$3x-y+2z=-1$

$7x+16y-12z=11$

Y no puedo averiguar cómo resolver esto. He intentado la adición, he intentado deshacerme de z y sólo resolver para x e y pero siempre termino con $0=0$

Answer 1

No es de extrañar que tengas problemas para resolver el sistema, ya que la matriz

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 3 & -1 & 2 \\ 7 & 16 & -12 \\ \end{pmatrix}$$

es singular, lo que significa que no hay una solución única.

Answer 2

Añadimos seis veces la segunda ecuación a la tercera y obtenemos $$ \begin{align} 2x&+3y&-2z&=2\\ 3x&-y&+2z&=-1\\ 25x&+10y&&=5 \end{align} $$ Entonces añadimos la primera ecuación a la segunda, y obtenemos $$ \begin{align} 2x&+3y&-2z&=2\\ 5x&+2y&&=1\\ 25x&+10y&&=5 \end{align} $$ Por último, dividimos la tercera ecuación por $5$ para conseguir $$ \begin{align} 2x&+3y&-2z&=2\\ 5x&+2y&&=1\\ 5x&+2y&&=1 \end{align} $$ y vemos que la segunda y la tercera ecuación dicen lo mismo. Por tanto, la tercera ecuación sólo nos da la información que ya contienen la primera y la segunda. Así que mientras que lo que había miró como tres ecuaciones en tres incógnitas, en realidad eran sólo dos ecuaciones en tres incógnitas. Por lo tanto, no hay una solución única para este conjunto de ecuaciones.

Answer 3

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 & -1 \\ 7 & 16 & -12 & 11\\ \end{array}\right)$$ Añadir $-\frac{3}{2}$ veces la primera fila a la segunda, y $-\frac{7}{2}$ veces la primera fila a la tercera: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & \frac{-11}{2} & 5 & -4 \\ 0 & \frac{11}{2} & -5 & 4\\ \end{array}\right)$$ Ahora añade la segunda fila a la tercera: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & \frac{-11}{2} & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)$$ Retire la tercera fila: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & \frac{-11}{2} & 5 & -4 \\ \end{array}\right)$$ Mueve la tercera columna hacia el lado derecho (todos los números allí serán multiplicados por $-1$ ), y nombrarlo como $p$ (así $z=p$ ) $$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & \frac{-11}{2} & -4 & -5 \\ \end{array}\right)$$ Ahora añade $\frac{6}{11}$ veces la segunda fila a la primera: $$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 0 & \frac{-2}{11} & \frac{-8}{11} \\ 0 & \frac{-11}{2} & -4 & -5 \\ \end{array}\right)$$ Ahora las ecuaciones: $$2x=-\frac{2}{11}-\frac{8}{11}p$$ $$-\frac{11}{2}y=-4-5p$$ $$z=p$$ Así que: $$x=-\frac{1}{11}-\frac{4}{11}p$$ $$y=-\frac{8}{11}-\frac{10}{11}p$$ $$z=p$$ En forma de vector: $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix} -1 \\ -8 \\ 0\end{pmatrix} + \frac{p}{11} \begin{pmatrix} -4 \\ -10 \\ 11\end{pmatrix}$$