Operador de matriz infinita

Question

Dada una matriz de números complejos $A=(a_{ij})_{i,j=1}^{\infty}$ y un operador $S$ en el espacio $l^1(\mathbb{C}) $ como $(x_i)_{i=1}^{\infty}\mapsto (y_i)_{i=1}^{\infty} $ donde $y_i=\sum_{j=1}^{\infty} a_{ij}x_j$ .

Necesito demostrar que la condición" $\sum_i|a_{ij}|<C$ para cualquier $j$ (donde C es un número constante) " es equivalente al hecho de que $S$ es un operador lineal acotado de $l^1$ a $l^1$ .

Esta condición es necesaria: tomando los vectores que son cero excepto un índice donde son iguales a 1. ¿Cómo puedo demostrar que también es suficiente?

Gracias.

Answer 1

Es una estimación sencilla: \begin {align} |Sx\|_1&= \sum_ {k=1}^ \infty |(Sx)_k| = \sum_ {k=1}^ \infty\left | \sum_ {j=1}^ \infty a_{kj}x_j \right | \\ \ \\ \leq & \sum_ {k=1}^ \infty\sum_ {j=1}^ \infty |a_{kj}||||x_j| = \sum_ {j=1}^ \infty | y la de la gente de la calle.., \sum_ {k=1}^ \infty |a_{kj}| \\ \ \\ & \leq C\, \sum_ {j=1}^ \infty |x_j| =\|x\|_1. \end {align}