¿Cuándo puedo mover el operando limit a una función?

Question

¿Cuándo puedo mover $\lim$ dentro de una expresión? ¿Cuáles son los requisitos de la función?

Por ejemplo: $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x^2+2}}{3x-6}$

Answer 1

La función tiene que ser continua. Dado que la continuidad en el infinito es un concepto controvertido, cámbielo a una situación más cómoda estableciendo $x=1/y$.

Answer 2

Su ejemplo:

$$\lim{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{3x-6}=$$ $$\lim{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{3x}=$$ $$\lim{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{3x}=$$ $$\frac{1}{3}\lim{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=$$ $$\frac{1}{3}\lim{x\to\infty}\frac{x}{x}=$$ $$\frac{1}{3}\lim{x\to\infty}1=\frac{1}{3}$$

Answer 3

Puede hacer esto, si ambos límites existen. En este caso ambos son $\infty$, por lo que no existen y no se puede mover el $\lim$ dentro.

En caso de que necesite ayuda para resolver este límite, intente dividir el numerador y el denominador por $x$ o use la regla de l'Hopital si está familiarizado con él.