Amann/Escher, Análisis I, Ejercicio I.12.12: Demuestre que $\triangle_{h}^{k} \in \operatorname{Hom}\left(\mathbb{K}_{m}[X], \mathbb{K}_{m-k}[X]\right)$

Question

Estoy haciendo Problema I.12.12 del libro de texto Análisis I por Amann/Escher.

Aquí

$\mathbb{K}$ denota cualquiera de los campos $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ .

$\mathbb{K}_{m}[X]$ es el espacio vectorial de los polinomios cuyo grado es menor o igual a $m$ .

El operador de diferencia $\triangle^k_h$ se define por $\triangle^k_h := \underbrace{\triangle_h \cdots \triangle_h}_{k \text{ times}}$ donde $$\triangle_h (p) := \dfrac{\sum_{i=0}^m p_i (X+h)^i - \sum_{i=0}^m p_i X^i}{h}, \quad p = \sum_{i=0}^m p_i X^i \in K_m[X]$$

¿Podría verificar si mi intento está bien o contiene lagunas o errores lógicos?

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Mi intento

Lema 1: Si $p \in \mathbb{K}_{m}[X]$ entonces $\triangle^k_h (p) \in \mathbb{K}_{m-k}[X]$ .

Lema 2: $\triangle_h (\alpha p) = \alpha (\triangle_h (p))$ para todos $\alpha \in \mathbb K$ y $p \in \mathbb{K}[X]$ .

Procedo a demostrar la afirmación por inducción sobre $k$ . La afirmación se cumple trivialmente para $k=0$ . Que se mantenga para $k$ . Entonces $\triangle_{h}^{k} \in \operatorname{Hom}\left(\mathbb{K}_{m}[X], \mathbb{K}_{m-k}[X]\right)$ . Por el lema 1, tenemos $\triangle^{k+1}_h \in {\left ( \mathbb{K}_{m-(k+1)}[X] \right )}^{\mathbb{K}_{m}[X]}$ . A continuación demostramos que $\triangle^{k+1}_h$ es un homomorfismo de espacio vectorial. Para $\alpha, \beta \in \mathbb K$ y $p,q \in \mathbb{K}_{m}[X]$ tenemos

$$\begin{aligned}\triangle^{k+1}_h (\alpha p + \beta q) &= \triangle_h \triangle^k_h (\alpha p + \beta q)\\ &=\triangle_h (\alpha \triangle^k_h (p) + \beta \triangle^k_h (q)), \quad \text{by inductive hypothesis} \\ &= \alpha (\triangle_h \triangle^k_h (p)) + \beta (\triangle_h \triangle^k_h (q)), \quad \text{by lemma 2} \\ &= \alpha \triangle^{k+1}_h (p) + \beta \triangle^{k+1}_h (q) \end{aligned}$$

Esto completa la prueba.

Answer 1

Mis comentarios como respuesta.

Utiliza eso $Δ_h$ es aditivo, refiriéndose al Lemma 2, sin embargo sólo afirma que $Δ_h$ es homotético (es decir, conmuta con escalares). Aparte de eso, se ve bien.

En una nota no relacionada, Amann-Escher es (muy) a menudo demasiado formal. Una prueba totalmente suficiente y fácil de leer sería la siguiente:

Es fácil ver que $Δ_h$ es lineal y además que para todos los polinomios no constantes $f∈K[X]$ , $\deg Δ_h(f) ≤ \deg f − 1$ mientras que los polinomios constantes están en el núcleo de $Δ_h$ . Desde $Δ_h$ es lineal, esto se puede comprobar en los monomios. Por inducción $Δ^k_h$ es lineal también para todos los $k ∈ ℕ$ y reduce el grado de los polinomios no constantes en al menos $k$ .