Supongamos que R es un anillo conmutativo con unidad tal que para cada $a$ en $R$ hay un número entero $n > 1\mid a^n =a$ . ¿Todos los ideales primos son máximos?

Question

Supongamos que R es un anillo conmutativo con unidad tal que para cada $a$ en $R$ hay un número entero positivo $n > 1$ tal que $a^n =a$ . Demostrar que todo ideal primo de $R$ es un ideal máximo de R.

Intento : Supongamos que $I$ es un ideal primo de $R$ . Dejemos que $I'$ sea un ideal de $R$ tal que $I \subseteq I' \subseteq R$ .

Dado que $\foralla \in R, \exists n>1$ tal que $a^n=a$ .

$\implies $ si $b \notin I$ entonces, para cualquier entero positivo $i,b^i \notin I$

Ahora bien, como $I$ es un ideal primo $\implies$ si $a,b \in R, ab \in I \implies a \in I$ o $b \in I$

Además, esto significa que, para cualquier $b \notin I , ~r \notin I, br \notin I$ y también que $br,(br)^2,(br)^3,..... \notin I$

Por la definición de ideal, sabemos que para cualquier $a \in I, ar \in I,~\forallr \in R$

Tengo que demostrar que $I = I'$ o $I'=R$

Si quiero demostrar la primera, debo mostrar que $I \subseteq I'$ y $I' \subseteq I$

Si quiero demostrar la segunda, entonces tengo que demostrar que $1 \in I'$ . Si de alguna manera sé que existe un elemento $c \notin I, c \in I'$ cuya inversa $d$ existe en cualquier parte de $R$ entonces, $I'$ siendo un ideal contiene $cd=1$

Sé que no he sido capaz de utilizar la existencia de ideales primos ni la existencia de ideales primos de forma suficientemente satisfactoria. ¿Cómo puedo seguir adelante? Gracias por su ayuda..

Editar: $R/I$ será un dominio integral, pero para demostrar que es un campo, debemos demostrar que cada elemento es invertible con respecto a la multiplicación. $r = r^n \implies r(r^{n-1}-1)=0 \implies ... $ ¿Puedo deducir algo de aquí? Gracias

Answer 1

Sugerencia :

Suficiente para probar $R/P$ es un campo..

Ver que $R/P$ es ya un dominio integral y luego ver lo que $r^n=r$ ¿Implicar?

Repito $R/P$ es el dominio integral...

Spoiler :

$r^n=r\Rightarrow r^n-r=0\Rightarrow r(r^n-1)=0\Rightarrow???$

Answer 2

Explicaré el argumento de Praphulla Koushik con más detalle para que puedas ver a dónde quiere llegar. Dejemos que $R$ sea un anillo, y $\ast$ sea la propiedad que ha mencionado: es decir, que para cualquier $a \in R$ existe un $n > 1$ tal que $a^n = a$ .

Lema 1: Sea $S$ sea un dominio integral. Si $S$ satisface la propiedad $\ast$ entonces $S$ es un campo.

Prueba: $S$ está contenido en un campo $K$ (por ejemplo, su campo cociente), en el que cada elemento no nulo de $S$ tiene un inverso. Si $0 \neq a \in S$ tenemos que demostrar que de hecho $a^{-1} \in S$ . Por hipótesis $a^n = a$ para algunos $n > 1$ Así que $a(a^{n-1} - 1) = 0$ . Desde $a \neq 0$ y $S$ es un dominio integral, tenemos que $a^{n-1} - 1 = 0$ o $a^{n-1} = 1$ . Así, $aa^{n-2} = 1$ . Desde $n > 1$ , usted tiene $n - 2 \geq 0$ Así que $a^{-1} = a^{n-2}$ es, de hecho, en $S$ .

Lema 2: Si $\phi: R \rightarrow T$ es un homomorfismo suryente de anillos, y $R$ satisface la propiedad $\ast$ entonces también lo hace $T$ .

Prueba: Cada elemento de $T$ tiene la forma $\phi(a)$ para algunos $a \in R$ . Por hipótesis, cada uno de estos $a$ es igual a $a^n$ para algunos $n > 1$ . Pero entonces $\phi(a) = \phi(a^n) = \phi(a)^n$ .

Ahora, la prueba del teorema. Sea $R$ sea un anillo conmutativo con identidad que satisface la propiedad $\ast$ . Si $P$ es un ideal primo de $R$ entonces $R/P$ es un anillo. El mapa $R \rightarrow R/P$ dado por $a \mapsto a + P$ es un homomorfismo suryectivo, así que por el lema 2, $R/P$ satisface la propiedad $\ast$ .

También $R/P$ es un dominio integral, y como satisface la propiedad $\ast$ es un campo por el lema 1. Por lo tanto, $P$ es de hecho un ideal máximo.