Soluciones de la ecuación de Laplace

Question

¿Cómo puedo encontrar soluciones? $u=f(r)$ de la ecuación bidimensional de Laplace $u_{xx}+u_{yy}=0$ que dependen únicamente de la coordenada radial $r= \sqrt{x^2+y^2}$

Answer 1

También debe utilizar la versión en coordenadas polares del operador de Laplace

$$ \Delta u = {\partial^2 u \over \partial r^2} +{1 \over r} {\partial u \over \partial r} + {1 \over r^2} {\partial^2 u \over \partial \theta^2} $$

y tratando de $u(r, \phi) = f(r)$ . Esto se reduce a resolver la EDO

$$ 0 = g'(r) +{1 \over r} {g} $$ para $g(r) = f'(r)$ .

Answer 2

Como señaló @CameronWilliams, la forma más fácil de hacerlo es cambiar a coordenadas polares. Pero, aquí hay una forma de fuerza bruta para proceder.

Dejemos que $f(x,y)=g(x^2+y^2)$ . Entonces, $\frac{\partial f}{\partial x}=2xg'(x^2+y^2)$ .

Tomando un segundo parcial se obtiene $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=(2x)^2g''(x^2+y^2)+2g'(x^2+y^2)$ .

Se puede ver fácilmente entonces (sustituir $x$ con $y$ ) que $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=(2y)^2g''(x^2+y^2)+2g'(x^2+y^2)$ .

Así,

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=4(x^2+y^2)g''(x^2+y^2) + 4g'(x^2+y^2)=0$$

Entonces, podemos escribir

$$\frac{g''(x^2+y^2)}{g'(x^2+y^2)}=\left(\log g'(x^2+y^2)\right)'=-\frac{1}{x^2+y^2}$$

donde de nuevo el "prime" está en $x^2+y^2$ . Integrar una vez revela que $\log g'(x^2+y^2) = -\log(x^2+y^2) +C \Rightarrow g(x^2+y^2) = A\log (x^2+y^2) +B$ .

Answer 3

y así es como se llega a la versión de coordenadas polares: $$ \begin{align} & u := f(r(x,y)), \\ & u_x = \frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}, \\ & u_{xx} = \left(\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}\right)_x = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^2 + \frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial^2 r}{\partial x^2}, \\ & u_{xx} + u_{yy} = \frac{\partial^2 f}{ \partial r^2}\left(\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)^2\right) + \frac{\partial f}{ \partial r}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial y^2}\right), \\ & u_{xx} + u_{yy} = \frac{\partial^2 f}{ \partial r^2}\left(\frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}\right) + \frac{\partial f}{ \partial r}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial y^2}\right), \\ & u_{xx} + u_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\partial f}{ \partial r} \left( - \frac{x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right), \\ & u_{xx} + u_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\partial f}{ \partial r} \frac{1}{r} = 0. \end{align} $$