Tengo un sólido con los límites $z=2x^2+2y^2$ donde $z=c$ y este sólido tiene una densidad uniforme de B. Necesito encontrar la masa y el centro de masa de este sólido. Sé cómo encontrar un centro de masa normal, pero no sé cómo establecer una integral para este problema, pero creo que implica el cambio de coordenadas (Además, asume c>0). Gracias.
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Mark Fantini
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La masa del sólido se define como
$$M = \iiint\limits_{\mathcal{B}} \rho \, dV,$$
es decir, la integral de la densidad del cuerpo en cada punto sobre el volumen del cuerpo. En este caso tenemos $\rho \equiv B$ que es constante, por lo que la masa será un múltiplo del volumen del cuerpo:
$$M = \iiint\limits_{\mathcal{B}} \rho \, dV = B \iiint\limits_{\mathcal{B}} \, dV.$$
Se trata de un paraboloide y su volumen puede hallarse mediante la sustitución de coordenadas cilíndricas. Encontramos $z = 2(x^2+y^2) = 2r^2$ y los límites para $z$ será $2r^2 \leq z \leq \sqrt{c/2}$ . Se encontró que esto equivale a $z=2r^2 = c$ Por lo tanto $r = \sqrt{c/2}$ .
$$ \begin{align} \iiint\limits_{\mathcal{B}} \, dV & = \int_0^{2 \pi} \hspace{-5pt} \int_0^{\sqrt{c/2}} \hspace{-5pt} \int_{2r^2}^c r \, dz \, dr \, d \theta \\ & = 2 \pi \int_0^{\sqrt{c/2}} cr - 2r^3 \, dr \\ & = 2 \pi \left( \frac{cr^2}{2} - \frac{r^4}{2} \right) \Bigg\vert_0^{\sqrt{c/2}} \\ & = \pi \left( c \cdot \frac{c}{2} - \frac{c^2}{4} \right) \\ & = \frac{c^2 \pi}{4}. \end{align} $$
Por lo tanto, $M = (Bc^2 \pi)/4$ .
Las coordenadas del centro de masa se definen como
$$ \begin{align} \overline{x} & = \frac{1}{M} \iiint x \rho \, dV \\ \overline{y} & = \frac{1}{M} \iiint y \rho \, dV \\ \overline{z} & = \frac{1}{M} \iiint z \rho \, dV. \end{align} $$
En notación física he visto esto escrito como
$$\mathbf{R} = \frac{1}{M} \iiint \rho \, \mathbf{r} \, dV.$$
Es interesante observar lo siguiente: el paraboloide es simétrico alrededor de $z$ eje. Esto significa que el centro de masa debe estar en el $z$ eje, para el $\overline{x}$ y $\overline{y}$ se cancelará (si no lo crees, escribe la integral explícitamente: tendrás que integrar $\cos \theta$ y $\sin \theta$ en $[0,2 \pi]$ que es cero).
Por lo tanto, nos queda calcular el $z$ coordenadas. Dejando de lado la densidad por un segundo (ya que es uniforme), tenemos
$$ \begin{align} \iiint\limits_{\mathcal{B}} z \, dV & = \int_0^{2\pi} \hspace{-5pt} \int_0^{\sqrt{c/2}} \hspace{-5pt} \int_{2r^2}^c z r \, dz \, dr \, d \theta \\ & = 2 \pi \int_0^{\sqrt{c/2}} \frac{r}{2} \left( c^2 - 4r^4 \right) \, dr \\ & = \pi \int_0^{\sqrt{c/2}} c^2 r - 4r^5 \, dr \\ & = \pi \left( \frac{(cr)^2}{2} - \frac{2r^6}{3} \right) \Bigg\vert_0^{\sqrt{c/2}} \\ & = \pi \left( \frac{c^2}{2} \cdot \frac{c}{2} - \frac{2}{3} \cdot \frac{c^3}{8} \right) \\ & = \pi \left( \frac{c^3}{4} - \frac{c^3}{12} \right) \\ & = \pi \left( \frac{c^3}{6} \right) \\ & = \frac{c^3 \pi}{6}. \end{align} $$
Finalmente
$$\overline{z} = \frac{B c^3 \pi}{6} \cdot \frac{4}{Bc^2 \pi} = \frac{2c}{3}.$$
Por lo tanto,
$$M = \frac{Bc^2 \pi}{4} \text{ and } \mathbf{R} = (\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) = \left( 0, 0, \frac{2c}{3} \right).$$
Espero que esto ayude y mis mejores deseos.
willw
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Aquí hay una pista, por si sirve de algo.
La masa en este caso es la integral sobre el sólido de la función constante $B$ el centro de masa es la integral de la función vectorial $(x,y,z)$ .
Se puede parametrizar el sólido, por ejemplo $V$ en coordenadas cartesianas, $$V = \{ (x, y, z) : 0 \leq z \leq c, 0 \leq x^2 + y^2 \leq \frac12 z \}$$ o en coordenadas polares $$V = \{ (x, y, z) = (r \cos \phi, r \sin \phi, z) : 0 \leq z \leq c, 0 \leq r^2 \leq \frac12 z, 0 \leq \phi \leq 2\pi \}.$$
Sin embargo, por simetría, está claro que el $x$ y $y$ componentes del centro de masa será cero. Por lo tanto, el $z$ componente del centro de masa dividirá el sólido en dos partes de igual peso por encima de $z$ y abajo $z$ .
También puede considerar $V$ como un cuerpo de revolución y aplicar alguna fórmula especializada.
