Las ecuaciones de Maxwell en el vacío son $dF=0$ y $d*F=0$ . ¿No es lo mismo que decir $F$ es a la vez cerrado y co-cerrado, y por lo tanto armónico? Pero el teorema de Hodge dice que el espacio de los armónicos $p$ -en una variedad es isomorfa a su $p$ lo que parece implicar que la única solución de las ecuaciones de Maxwell en el vacío en $\mathbb{R}^4$ es $F=0$ ? ¿Supongo que me he perdido algo aquí?
Respuesta
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Kevin Zhou
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Acabas de olvidar que el espacio tiene que ser compacto.
Piensa en el caso simple $p = 0$ . Este es el conjunto de funciones armónicas $\nabla^2 f = 0$ . De hecho, en un espacio compacto conectado el grupo de cohomología zeroth desaparece, y no hay soluciones no triviales para $f$ . Pero en $\mathbb{R}^n$ hay muchas soluciones, un ejemplo es $e^z$ en el avión.
Si necesita $F$ para que desaparezca en el infinito, podemos compactar $\mathbb{R}^n$ a $S^n$ y el teorema se aplica.
