Dejemos que $X$ sea un espacio métrico localmente compacto y separable y $\mu_n$ una secuencia de medidas de probabilidad sobre $S$ . Dejemos que $\mathfrak{C}$ sea una clase determinante de la convergencia para la topología débil (por ejemplo, supongamos que $\mathfrak{C} = C_b(X)$ es decir, todas las funciones continuas acotadas sobre $X$ ).
Entonces, si $\mu_n(f), n \geq 1$ es Cauchy para todo $f \in \mathfrak{C}$ ¿se deduce que $\mu_n$ ¿converge débilmente?
Alternativamente, si $C = C_b(X)$ luego escribir $m(f) = \lim_n \mu_n(f)$ ¿se aplica el teorema de la representación de Riesz a $m(f)$ ? En general, necesitamos algunas condiciones de estanqueidad en un funcional $m(f)$ para aplicar la TRR. Sin embargo, dada la forma particular del funcional, ¿hay alguna manera de detectar si la secuencia "pierde masa en el infinito"?
Si no es así, ¿hay algún contraejemplo constructivo de esto?
Editar: OP aquí. Gracias por todas las sugerencias hasta ahora. Para aclarar algo: soy muy consciente de que la estanqueidad de las medidas secuenciales es equivalente a la precompacidad (es decir, el teorema de Prokhorov), que luego a través de la compacidad secuencial implicaría un límite débil de $\mu_n$ . La cuestión aquí es (o era) cómo demostrar que la secuencia es uniformemente ajustada en primer lugar, dado sólo que las integrales contra funciones $\mu_n(f)$ convergen entre sí.
