$U(1)_V$ invarianza

Question

Estoy trabajando con un Lagrangiano de interacción de la forma

$${\cal L}_{int} = \bar{\psi}\Theta\chi \tag1$$

Dónde $\Theta$ contiene otros operadores, constantes de acoplamiento, etc. Estoy tratando de desvelar si este tipo de interacción tiene número de fermión conservado, es decir, es invariante bajo $U(1)_V$ . Supongamos que el lagrangiano libre tiene esa simetría. Creo que ambos campos de fermiones, $\psi, \chi$ transformaciones como:

$$\psi \rightarrow e^{-ia}\psi \Leftrightarrow \bar{\psi} \rightarrow e^{ia}\bar{\psi}, \quad \chi \rightarrow e^{-ia}\chi, \quad a \in \mathbb{C} . \tag2$$

Si esta es la forma en que se transforman (a saber, el mismo parámetro $a$ ), entonces estos campos tienen conservación del número de fermiones. Pero este es el punto crucial, no estoy seguro de poder elegir el mismo $a$ .

Answer 1

Pues bien, de forma bastante tautológica, la forma en que se define una simetría determina qué simetría es. Por ejemplo, la transformación $$\psi \to e^{-i a} \psi, \quad \chi \to e^{-2 i a} \chi$$ podría ser ciertamente un $U(1)$ simetría. Sin embargo, como el $\chi$ campo se transforma el doble, la carga conservada correspondiente contaría el número de $\psi$ partículas más dos veces el número de $\chi$ partículas. Así que esto no contaría el número total de partículas, pero podría ser la carga eléctrica si $\chi$ tiene el doble de carga que $\psi$ .

Si se desea la simetría cuya cantidad conservada correspondiente es el número de $\psi$ partículas más el número de $\chi$ partículas, entonces tienes que elegir $$\psi \to e^{-i a} \psi, \quad \chi \to e^{-i a} \chi.$$ Esto es lo que se suele llamar $U(1)_V$ .