¿Cuáles son las simetrías de un cubo de rubiks de colores?

Question

Técnicamente el grupo de simetría del cubo de rubiks es el grupo de simetría del cubo con toda su etiqueta despegada. El cubo de rubiks normal con todas sus caras pintadas de diferentes colores tiene grupo de simetría trivial porque nada lo preserva.

Mi objetivo es encontrar una realización geométrica de $Q_8$ y por alguna razón que desconozco creo que podría ocurrir como la restricción de las simetrías de un cubo de 2x2x2 convenientemente pintado (por ejemplo tal vez la parte superior y la inferior son ambas del mismo color, entonces hay un colorido tipo tablero de ajedrez alrededor de los lados) o tal vez un 2x2 alargado (similar a como surge el grupo de Klein 4).

He encontrado un código GAP que dice dar el grupo de simetría del 2x2x2 pelado http://cubeman.org/2x2x2.txt

¿Cómo puedo encontrar el grupo de simetría de un cubo pintado?

Answer 1

En primer lugar, considere un $2\times 2\times 2$ El cubo de Rubik:

¿Qué es el "grupo de simetría"?

Antes de poder discutir el grupo de simetría de este cubo (o de cualquier cubo de Rubik), debemos tener claro qué operaciones están permitidas. Hay tres cuestiones pertinentes:

1. ¿Las rotaciones rígidas del cubo cuentan como "simetrías"?
   (Si no, debemos excluirlos de alguna manera).

2. ¿Se nos permite reflejar el cubo?

3. ¿Podemos desmontar el cubo y volver a montarlo?

En la mayoría de los debates sobre el $3\times 3\times 3$ cubo de Rubik, la respuesta a las tres preguntas es "no". En particular, es habitual no permitir las rotaciones rígidas exigiendo que cada una de las seis caras centrales sea fija.

Para nuestro debate, utilizaremos "sí" para la primera pregunta, pero "no" para las otras dos.

Por supuesto, sería posible responder "no" a la primera pregunta fijando la posición de una de las piezas de esquina. Desgraciadamente, $\mathsf{GAP}$ afirma que el grupo resultante (que es el mismo que el grupo definido por el código en http://cubeman.org/2x2x2.txt ) no contiene una copia $Q_8$ . Si queremos conseguir un $Q_8$ tendremos que permitir rotaciones rígidas.

Estructura del Grupo

Dejemos que $G$ sea el grupo de simetría completo del $2\times 2\times 2$ El cubo de Rubik. Este grupo tiene el orden 88.179.840, y resulta ser un producto semidirecto : $$ G \;=\; (\mathbb{Z}_3)^7 \rtimes S_8. $$ El subgrupo normal $N = (\mathbb{Z}_3)^7$ consiste en todos los elementos de $G$ que giran cada uno de los ocho subcubos en su lugar.

Tenga en cuenta que $N$ es no isomorfo a $(\mathbb{Z}_3)^8$ aunque haya ocho subcubos. La razón es que no todas las rotaciones de los ocho subcubos son posibles. En particular, $N$ resulta ser el subgrupo de $(\mathbb{Z}_3)^8$ formado por todos los elementos cuyas coordenadas suman cero módulo tres.

El grupo $S_8$ actúa sobre $N$ permutando las ocho coordenadas en este $(\mathbb{Z}_3)^7$ . Es decir, $S_8$ permuta los ocho cubos. Como no se trata de un subgrupo normal, hay varias copias posibles de $S_8$ para elegir, ninguna de las cuales es "canónica". A continuación veremos una de las posibles opciones.

Colorear caras opuestas

Si coloreamos de rojo dos caras opuestas del cubo, podemos preguntar por el subgrupo $H$ de simetrías que preservan la coloración.

Según $\mathsf{GAP}$ este grupo es isomorfo a $S_8$ lo cual no es demasiado sorprendente: los elementos de $H$ permutar las ocho caras rojas, así que la única pregunta era si se permitiría cualquier permutación.

Por cierto, resulta que este grupo actúa sobre las dieciséis caras grises restantes con dos órbitas. La siguiente imagen muestra el cubo con estas dos órbitas etiquetadas en amarillo y azul.

Esta es la coloración de "tablero de ajedrez" mencionada por el OP. Cualquier simetría del cubo que asigne caras rojas a caras rojas automáticamente asigna las caras azules a las azules y las amarillas a las amarillas también.

El subgrupo de los cuaterniones

Desde $H$ es isomorfo a $S_8$ tiene un subgrupo isomorfo a $Q_8$ . Según $\mathsf{GAP}$ sólo hay una clase de conjugación de $Q_8$ subgrupos en $G$ por lo que la siguiente descripción será única hasta la conjugación.

Para describir la $Q_8$ subgrupo, describiré la acción de los tres generadores $i$ , $j$ y $k$ . El generador $i$ simplemente actúa como un $90^\circ$ rotación del cubo:

(acción de $\boldsymbol{i}$ )

El generador $j$ hace algo interesante: cambia la parte superior e inferior del cubo, a la vez que los gira $180^\circ$ grados con respecto a los demás. La siguiente imagen muestra esta operación.

(acción de $\boldsymbol{j}$ )

Desde $k=ij$ La acción de $k$ es simplemente la acción de $i$ seguido de la acción de $j$ . Esto resulta ser una transformación algo similar a $j$ .

(acción de $\boldsymbol{k}$ )

En general, cada uno de los ocho elementos de $Q_8$ se puede obtener de la siguiente manera:

1. O bien se le da la vuelta al cubo (para $j$ , $-j$ , $k$ y $-k$ ) o no (para $1$ , $i$ , $-1$ y $-i$ ).

2. Si volteas el cubo, gira la capa superior $180^\circ$ .

3. Por último, gire todo el cubo un múltiplo de $90^\circ$ alrededor del eje vertical.

Algunas notas sobre este ejemplar de $Q_8$ :

1. Según $\mathsf{GAP}$ sólo hay una clase de conjugación de $Q_8$ subgrupos de $G$ . Por lo tanto, esta es esencialmente la única manera de $Q_8$ actuar por simetrías en el cubo de Rubik (sin contar los movimientos que reflejan el cubo, o que desmontan el cubo y lo vuelven a montar).

2. Este subgrupo no no corresponden a alguna coloración de las caras del cubo. En particular, $Q_8$ actúa de forma transitoria sobre las caras coloreadas en rojo, amarillo y azul en las imágenes anteriores, por lo que esta coloración no puede afinarse más.

Otro subgrupo interesante

En los comentarios anteriores, Rschwieb mencionó la posibilidad de colorear las caras opuestas del mismo color:

Para esta coloración, resulta que hay dos órbitas de subcubos: las que se colorean de rojo-amarillo-azul en orden contrario a las agujas del reloj, y las que se colorean de rojo-amarillo-azul en orden de las agujas del reloj. Hay cuatro de cada tipo, y resulta que el subgrupo de $G$ que preserva esta coloración es isomorfo a $S_4 \times S_4$ .

Método

Todos estos cálculos se han realizado con $\mathsf{GAP}$ y las animaciones se hicieron en Mathematica . He utilizado lo siguiente $\mathsf{GAP}$ código para definir el grupo $G$ :

cubo := Grupo( (2,14,23,9)(3,6,22,17)(7,15,16,8), (3,11,24,16)(4,19,23,8)(9,10,18,17), (20,14,16,18)(19,13,15,17)(21,22,23,24), (1,2,3,4)(5,7,9,11)(6,8,10,12), (1,7,22,20)(2,15,21,12)(5,6,14,13), (1,10,24,13)(4,18,21,5)(11,19,20,12) );

Eso es, $G$ el subgrupo a de $S_{24}$ generados por las permutaciones dadas. Estos generadores se obtuvieron numerando las caras del cubo, y luego examinando el efecto de cada uno de los seis posibles movimientos de rotación de las caras.

$\mathsf{GAP}$ es fantástico para tratar con grupos de permutación. El siguiente código da el grupo $H$ definido anteriormente (el grupo que preserva la coloración roja de dos caras opuestas).

H := Estabilizador( G, [1,2,3,4,21,22,23,24], OnSets );

Aquí 1,2,3,4,21,22,23,24 son los números de las ocho caras rojas. La orden

StructureDescription(H);

revela que $H$ es isomorfo a $S_8$ . Utilicé el comando Stabilizer para definir todos los grupos relevantes, y el comando IsomorphicSubgroups para buscar subgrupos isomorfos a $Q_8$ . Un método similar podría utilizarse para analizar cualquier coloración.