Demostrar que existe $c\in (a,b)$ tal que $cf'(c)+f(c)=0$

Question

Supongamos que $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es continua y diferenciable en $(a,b)$ . Supongamos que también $$\frac{f(a)}{f(b)}=\frac{b}{a}$$ entonces existe $c\in(a,b)$ tal que $cf'(c)+f(c)=0$ .

Ya he probado el Teorema del Valor Medio y la combinación con la hipótesis.

Answer 1

Una pista:

utilizar el teorema del valor medio para la función $g(x)=xf(x)$ , tenga en cuenta que $g'(x) = xf'(x)+f(x)$ .

Answer 2

Usted tiene $$af(a)=bf(b)$$ por lo que si se define $$g(x)=xf(x)$$ entonces $g(a)=g(b)$

También tenemos $$g'(x)=f(x)+xf'(x)$$

Las condiciones del teorema de Roll aplicadas a $g(x)$ resultados en $g'(c)=0$ para algunos $c\in (a,b)$

Así, $g'(c)=f(c)+cf'(c)=0$ para algunos $c\in (a,b)$