Si $X_1, \ldots, X_n$ son los números seleccionados, $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ así que $\text{Var}(S_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \text{Cov}(X_i, X_j)$ . Sólo hay sólo dos casos a considerar, $i=j$ (que se produce $n$ veces) y $i \ne j$ ( $n^2 - n$ veces), por lo que $\text{Var}(S_n) = n \text{Var}(X_1) + (n^2-n) \text{Cov}(X_1,X_2)$ .
$X_1$ es igualmente probable que sea cualquiera de $1,2,\ldots,N$ . Escriba $X_1 = \sum_{i=1}^N i I_{\{X_1 = i\}}$ donde $I_E$ denota el indicador de evento $E$ (es decir $1$ si $E$ se produce, $0$ si no). Tenemos $E[I_{\{X_1=i\}}] =E[I_{\{X_1=i\}}^2]= 1/N$ así que $\text{Var}(I_{\{X_1=i\}}) = 1/N - 1/N^2$ , mientras que $I_{\{X_1=i\}} I_{\{X_1=j\}} = 0$ para $i \ne j$ así que $\text{Cov}(I_{\{X_1=i\}}, I_{\{X_1=j\}}) = - 1/N^2$ para $i \ne j$ . Así, $$\text{Var}(X_1) = \sum_{i,j} i j \text{Cov}(I_{\{X_1=i\}}, I_{\{X_1=j\}}) = \sum_{i=1}^N \dfrac{i^2}{N} - \dfrac{1}{N^2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N ij = \dfrac{N^2-1}{12}$$ De la misma manera, $E[I_{\{X_1=i\}} I_{\{X_2=j\}}] = \dfrac{1}{N(N-1)}$ para $i\ne j$ , $0$ para $i=j$ Así que $$\text{Cov}(I_{\{X_1=i\}}, I_{\{X_2=j\}} = \cases{\dfrac{1}{N(N-1)} - \dfrac{1}{N^2} = \dfrac{1}{N^2(N-1)} & for $ i \ne j $\cr - \dfrac{1}{N^2} & otherwise}$$ así que $$ \text{Cov}(X_1,X_2) = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \dfrac{ij}{N^2(N-1)} - \sum_{i=1}^N \dfrac{i^2}{N(N-1)} = -\dfrac{N+1}{12}$$ y por lo tanto $$ \text{Var}(S_n) = n \dfrac{N^2-1}{12} - (n^2-n) \dfrac{N+1}{12} = \dfrac{n (N+1)(N-n)}{12} $$