Pegando una tira de mobius a un Torus con el disco quitado

Question

Dejemos que $D$ sea un disco cerrado incrustado en $S^1×S^1$ . Entonces $X=S^1×S^1−\text{int}(D)$ tiene un círculo $S$ para su límite. Supongamos que pegamos una banda de Möbius a este espacio identificando cada punto del círculo límite de la banda de Möbius con su imagen bajo un $2:1$ mapa de cobertura de $S$

Calcula los grupos de homología y el grupo fundamental de este espacio.

Declaremos $R= X \cup_f MB=Z$ donde $f$ es un $2:1$ mapa de cobertura.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Tras considerar la homología reducida, una parte de nuestra secuencia Mayer-Vietoris tendrá el siguiente aspecto:

$0 \rightarrow H_2(R) \rightarrow^a H_1(S^1) \rightarrow^b H_1(MB) \oplus H_1(X) \rightarrow^c H_1(R) \rightarrow 0$

Después de sustituir lo siguiente:

$H_1(X) \cong \mathbb{Z}^2$

$H_1(MB) \cong \mathbb{Z}$

$H_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$

Obtenemos lo siguiente:

$0 \rightarrow H_2(R) \rightarrow^a \mathbb{Z} \rightarrow^b \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}^2 \rightarrow^c H_1(R) \rightarrow 0$

Ahora, mi pregunta principal es cómo $b$ actúa sobre el generador de $\mathbb{Z}$ Es decir, lo que es $b(1)$ ?

$b(1)$ restringido al sumando que representa $H_1(MB)$ será igual a $2$ , donde $H_1(MB)$ es generado por $1$ . $b$ aquí es inducido por el mapa de inclusión $\delta MB \rightarrow MB$ y el límite de una banda de moibus envuelve dos veces el círculo central, y por lo tanto $b(1)=2$ . Nótese que este homomorfismo es completamente independiente de la relación de cobertura entre $\delta MB$ y $\delta X$ , en nuestro caso a $2:1$ relación.

También, $b(1)$ restringido a los dos segundos sumandos, los sumandos que representan $H_1(X)$ creo que tendrá imagen $(0,0)$ . Hice un dibujo de un cuadrado con los lados opuestos identificados y saqué un disco de él. Si se rodea una vez el límite de este disco sería homotópico a rodear el perímetro, y para cada lado cuando se atraviesa el lado identificado se invierte la orientación, por lo que todo se anula.

Por lo tanto, creo que $b(1)= (2,(0,0))$

Así, $b$ es inyectiva y por tanto $H_2(R)=0$ .

$H_1(R) \cong \frac{\mathbb{Z}^3}{\langle (2,0,0) \rangle} \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$

¿Cómo se ve esto? ¡¡Gracias de antemano!! También necesito ayuda para calcular el grupo fundamental de este espacio.

Answer 1

Sugeriría considerar primero el grupo fundamental. Aquí puedes utilizar el teorema de van Kampen para determinar el grupo fundamental una vez que hayas averiguado cuáles son los mapas de $S^1$ a $MB$ y $X$ hacer en los grupos fundamentales. Entonces el grupo fundamental de $R$ es el correspondiente producto amalgamado de $\pi_1(MB)$ y $\pi_1(X)$ (¿lo conoces?).

Identificamos el límite de $MB$ con $S$ por un $2:1$ cobertura. Esto significa que identificamos cada $x\in S^1\cong\partial MB$ con $f(x)\in S\subseteq X$ o, lo que es lo mismo, identificamos $g(x)$ con $f(x)$ para todos $x\in S^1$ , donde $g\colon S^1\to\partial MB$ es el difeomorfismo correspondiente. Ahora para el grupo fundamental y la homología tenemos que considerar los mapas inducidos de $f$ y $g$ .

La inclusión $S^1\cong\partial MB\hookrightarrow MB$ corresponde a un $2:1$ cobertura de $S^1$ por lo que el mapa inducido $\mathbb{Z}\cong\pi_1(S^1)\to\pi_1(MB)\cong\mathbb{Z}$ de $g$ es la multiplicación por $2$ . Por el teorema de Hurewicz la primera homología es la abelianización del grupo fundamental (¡naturalmente!) y por tanto el mapa sobre la primera homología es la multiplicación por $2$ También.

El grupo fundamental de $X$ es $\langle a,b\rangle$ el grupo libre en $2$ generadores (cada generador corresponde a un lado del cuadrado con los lados opuestos identificados). El mapa inducido de $f\colon S^1\to X$ mapas $1$ a $(aba^{-1}b^{-1})^2$ es exactamente lo que se obtiene cuando se mueve dos veces alrededor del cuadrado con los lados opuestos identificados. Al considerar la primera homología tenemos que abelianizar, lo que hace que $(aba^{-1}b^{-1})^2$ trivial, por lo que es correcto que $1\in H_1(S^1)$ se asigna a $(0,0)\in H_1(X)$ .

Por lo tanto, $b(1)=(2,(0,0))$ . A partir de esto se pueden calcular todos los grupos homológicos de $R$ .