Pregunta sobre un vector aleatorio

Question

Esto se relaciona con ese documento:

http://www.stat.purdue.edu/docs/research/tech-reports/1982/tr82-17.pdf

Dejemos que $U_1,...,Un$ sea iid uniforme en (0,1). Establezca $L_n=\max_{i\leq n} U_i$ .

También $S(n)= \inf\{i\leq n| U_i = L_n \}$ el momento en que se alcanza el valor más alto y

$Z(n)= \inf\{i\leq n| U_i = L_{S(n)-1} \} \vee 0$ el tiempo que dura el valor más alto antes de que se alcance el más alto (¡no es necesario el segundo más alto globalmente!)

La prueba de que hay $V$ , $V' \sim Exp(1)$ y $W$ , $W' \sim U(0,1)$ todos ellos mutuamente independientes, tal que:

$(n(1-L_n),(S(n)-1)(1-\frac{L_{S(n)-1}}{L_n}),\frac{S(n)}{n},\frac{Z(n)}{S(n)-1})\overset{d}{\rightarrow}(V,V',W,W').$

Bastará con un boceto de prueba.

También he publicado la pregunta aquí: https://math.stackexchange.com/questions/1844238/limit-of-a-probability-vector

Answer 1

Para $1 \leq s' < s \leq n$ y $t,t' \in \mathbb{R}$ , uno tiene $$ n(1-L_n) > t, (S(n)-1)(1-\frac{L_{S(n)-1}}{L_n}) > t',S(n)=s, Z(n) = s' $$ precisamente cuando $$ U_1,\dots,U_{s'-1} < U_{s'},\\ U_{s'+1},\dots,U_{s-1} \leq U_{s'}, \\ U_{s+1},\dots,U_{n} \leq U_{s},\\ U_{s'} < \left(1 - \frac{t'_+}{s-1} \right)_+ U_s, \\ U_{s} < \left(1 - \frac{t_+}{n} \right)_+ , $$ donde $x_+ = \max(x,0)$ . Configuración $\alpha =\left(1 - \frac{t_+}{n} \right)_+ $ y $\alpha' = \left(1 - \frac{t'_+}{s-1} \right)_+$ la probabilidad de estos eventos es $$ \mathbb{E}[U_{s'}^{s-2} \mathbb{1}_{U_{s'} \leq \alpha' U_s} U_{s}^{n-s} \mathbb{1}_{U_{s} \leq \alpha} ] = \mathbb{E}[\frac{(\alpha' U_s)^{s-1}}{s-1}U_{s}^{n-s} \mathbb{1}_{U_{s} \leq \alpha}] \\ = \frac{\alpha'^{s-1} \alpha^n}{n(s-1)} = \frac{1}{n(s-1)}\left(1 - \frac{t'_+}{s-1} \right)_+^{s-1} \left(1 - \frac{t_+}{n} \right)_+^n $$ La conclusión se desprende de este cálculo y del siguiente hecho: para cualquier $w,w' \in ]0,1]$ , uno tiene $$ \sum_{\substack{2\leq s \leq wn \\ 1 \leq s' \leq w'(s-1)}} \frac{1}{n(s-1)}\left(1 - \frac{t'_+}{s-1} \right)_+^{s-1} \left(1 - \frac{t_+}{n} \right)_+^n \longrightarrow w w' e^{-t'_+ - t_+} , $$ como $n \rightarrow + \infty$ .