Si $\mathcal C$ es semiaditivo, entonces $\text{Hom}(a,b)$ en $\mathcal C$ es monoide.

Question

Dejemos que $f,g\in\text{Hom}(a,b)$ . Quiero definir $f+g$ y mostrar $f+g=g+f$ .

Toma $f\times g\in \text{Hom}(a,b\oplus b)$ tal que $$\pi_b^1\circ(f\times g)=f\\\pi_b^2\circ(f\times g)=g$$

Toma $\nabla_b\in \text{Hom}(b\oplus b, b)$ tal que $$\nabla_b\circ i_b^1=\nabla_b\circ i_b^2=\text{id}_b$$

Toma $\varphi\in\text{Hom}(b\oplus b,b\oplus b)$ tal que $$\varphi\circ i_b^1=i_b^2\\\varphi\circ i_b^2=i_b^1$$

Entonces, como $(\nabla_b\circ \varphi)\circ i_b^1=(\nabla_b\circ\varphi)\circ i_b^2=\text{id}_b$ , $\nabla_b\circ \varphi=\nabla_b$ .

Toma $\psi\in\text{Hom}(b\oplus b,b\oplus b)$ tal que $$\pi_b^1\circ\psi=\pi_b^2\\\pi_b^2\circ\psi=\pi_b^1$$

Igualmente, $\psi\circ (f\times g)=g\times f$ .

Si pudiera mostrar $\varphi=\psi$ Entonces..:

$$\begin{align}f+g=&\nabla_b\circ (f\times g)\\=&\nabla_b\circ \varphi\circ (f\times g)\\=&\nabla_b\circ \psi\circ (f\times g)\\=&\nabla_b\circ (g\times f)=g+f\end{align}$$

Pero no sé cómo mostrar $\varphi=\psi$ . ¿Cómo puedo demostrarlo, o mi enfoque es erróneo?

Answer 1

$\require{AMScd}$ No entiendo su notación, ni su definición de $f+g$ Si se define $$A \overset{\Delta_A}\to A\oplus A \overset{f\oplus g}\to B\oplus B \overset{\nabla_B}\to B$$ esto establece una operación binaria conmutativa simplemente porque el diagrama $$\begin{CD} A @>>> A\oplus A @>f\oplus g>> B\oplus B @>>> B \\ @|@V\sigma_AVV@VV\sigma_BV@|\\ A @>>> A\oplus A @>>g\oplus f> B\oplus B @>>> B \end{CD}$$ es conmutativo, si las flechas verticales son los isomorfismos de simetría.