Método de punto fijo

Question

Estoy tratando de encontrar por qué cuando se utiliza el método de punto fijo para encontrar una raíz, no puedo encontrar el valor convergente que necesito.

Tengo la función: $\dfrac{\cos(x\pi)}{9}+\sin(x\pi)$

He resuelto para x, y he probado dos enfoques:

$$x= \frac {9\cos^-1(-8\sin(\pi x))}{\pi} \text{ or } x=\frac{\sin^{-1}(\frac{1}{8} (\cos\frac{(x\pi)}{9}))}{\pi}$$

Mi suposición inicial es $1$ por lo que mi $x_0=1$

Pero sabe cuando estoy tratando de encontrar el x1 para:

1) $x= \dfrac {9\cos^{-1}(-8\sin(\pi x))}{pi}$ , $x_1=4.5$

y

2) para $x=\dfrac{\sin^{-1}\left(\frac{1}{8}(\cos\frac{(x\pi)}{9})\right)}{\pi}$ , $x_1= 0.037$ y el valor converge para $x=0.39$ y sé por la observación de la gráfica de $f(x)$ que no es cierto.

¿Puede alguien ayudarme a encontrar lo que está mal en mis cálculos? He probado otros métodos para encontrar la primera raíz, y todos ellos convergen para un valor único.

Answer 1

¿Está tratando de resolver $\cos(\pi x)/9 + \sin(\pi x) = 0$ ? Entonces puede probar $$\eqalign{\cos(\pi x) &= - 9 \sin(\pi x)\cr \pi x &= \arccos(-9 \sin(\pi x))\cr x &= \dfrac{1}{\pi} \arccos(-9 \sin(\pi x))\cr}$$ (pero esto no tendrá un valor real si $|\sin(\pi x)| > 1/9$ ), o $$ \eqalign{\sin(\pi x) &= -\cos(\pi x)/9\cr \pi x &= \arcsin(- \cos(\pi x)/9)\cr x &= \dfrac{1}{\pi} \arcsin(-\cos(\pi x)/9)\cr}$$ Que cualquiera de ellos converja o no dependerá de la derivada...

Answer 2

Deberías ser mucho más cuidadoso a la hora de presentar tu problema, pero quizás no lo has pensado tanto. Parece que se le ha dado la expresión ${1\over9}\cos(\pi x)+\sin(\pi x)=:f(x)$ . Nos dices que quieres encontrar una raíz. Pero no se ve ninguna ecuación. Tal vez usted quiere encontrar una raíz de la ecuación $f(x)=0$ quién sabe. Luego nos dice que quiere utilizar el "método del punto fijo". Por lo tanto, tendría que establecer otro mapa $g:\>x\mapsto g(x)$ de manera que un punto fijo de este nuevo mapa sería automáticamente una "raíz", es decir, una solución de la ecuación dada, supuestamente $f(x)=0$ . Y así sucesivamente.

¿Me entiendes?