¿Qué "números reales" (elementos en $\mathbb R$ ), se refiere la gente?

Question

Para definir los objetos matemáticos, parece que uno los define en términos de otros objetos matemáticos.

(En general, parece que para definir cualquier cosa simbólicamente con cualquier lenguaje escrito hay que hacer esto primero, un diccionario debe definir las palabras en términos de otras palabras. Además, esto explicaría por qué cuando los humanos enseñan a los bebés el significado de los objetos, al principio utilizamos sonidos/imágenes, etc. Por ejemplo, mostrando a un bebé la imagen de un cuadrado y diciendo la palabra "cuadrado" una y otra vez, hasta que su mente asocia mentalmente los dos objetos. Al menos hasta que puedan leer/hablar, momento en el que se pueden definir las cosas sin traducirlas/simbolizarlas con objetos que puedan asociar mentalmente)

Sin embargo, varios objetos matemáticos tienen diferentes "definiciones".

Por ejemplo, parece que la gente "construye" los números reales (utiliza objetos distintos de los números reales para crear una estructura algebraica isomorfa a lo que otros consideran los números reales) y luego los define como números reales. Sin embargo, esto me parece ambiguo.

Si uno se refiriera a los "números reales", ¿se estaría refiriendo entonces a los cortes de Dedekind?

¿O se referirán a las clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy?

¿O a otra "construcción" totalmente distinta?

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Estas son mis dos mejores conjeturas sobre lo que la gente quiere decir:

$1.$ Se refieren simplemente a cualquier estructura isomorfa al campo ordenado completo (único).

$2.$ Se refieren a una clase de equivalencia $^{*}$ de todas las estructuras que son isomorfas al (único) campo ordenado completo.

$*\small(\text{Not an equivalence class in the proper sense with sets as an such object cant be a set by Russell's paradox)}$

La razón $1$ no daría lugar a la ambigüedad es porque a menudo nunca necesitamos hacer uso de sus "definiciones" originales per se. Porque podemos incrustar los racionales, los enteros, etc. dentro de los números reales. Sin embargo $2$ evitaría este problema por completo, ya que sólo tenemos una única definición.

Answer 1

Su pregunta es esencialmente filosófica. Cuando la gente corriente habla de número, tiene un concepto muy definido en mente. Los matemáticos son gente corriente, pero tienen la obligación profesional de justificar lógicamente su uso del concepto de número. Por eso, cuando se preocupan por los fundamentos lógicos, los matemáticos dan pruebas de existencia para los distintos sistemas numéricos construyendo testigos explícitos para los sistemas que satisfacen las propiedades requeridas. Cuando vuelven a su trabajo matemático cotidiano, los matemáticos se olvidan de los detalles de estas pruebas de existencia y trabajan alegremente como si $\Bbb{R}$ eran un subconjunto de $\Bbb{C}$ y $\sqrt{2}$ fuera un objeto que pertenece a $\Bbb{R}$ , satisface $x^2 = 2$ pero no es en sí mismo un conjunto o una secuencia.

Hay un artículo seminal de Benacerraf Lo que los números no podían ser que cualquier persona interesada en los fundamentos filosóficos de las matemáticas debería leer.

Answer 2

Yo optaría por (1), ligeramente modificada. Si acabas de construir los números reales en algún libro o documento, utilizando, por ejemplo, cortes Dedekind, entonces en ese contexto un número real es un corte Dedekind, y se utilizan las propiedades de los cortes Dedekind para demostrar teoremas sobre los números reales.

Puesto que existe un campo ordenado único (hasta el isomorfismo único) y su construcción lo proporciona, sus teoremas serán verdaderos para los "números reales" de cualquier otra persona.

Editar: esto es esencialmente @AsafKaraglia 's respuesta al duplicado, pero mucho menos informativo.