Encontrar el número de soluciones a $x^2-6x+\left[x\right]+7=0$

Question

Encontrar el número de soluciones a $$x^2-6x+\lfloor x\rfloor+7=0$$

Mi intento: He escrito la ecuación dada como $$(x-3)^2+\lfloor x \rfloor -2=0$$

$\implies$

$$(x-3)^2+\lfloor x-3 \rfloor +1=0$$

Dejar $x-3=t$ tenemos

$$t^2+\lfloor t \rfloor +1=0$$

Obviamente $t \ngtr0$ y $t \notin \mathbb{Z}$

Así que

$t \lt 0$

¿Alguna pista para seguir adelante?

Answer 1

Una pista: $t^2+1\geqslant 2|t|\geqslant -\lfloor t \rfloor$ La igualdad nunca es posible.

Answer 2

Desde $[x]=x-f$ para alguna f en [0,1), se tiene $x^2-5x+7-f=0$ . Suponiendo que f es sólo un parámetro por un momento, encuentra las soluciones utilizando la fórmula cuadrática. Luego varía f hasta que esas soluciones sean enteras (si es posible).