Si $\Omega$ tiene medida finita y $f \in L^p(\Omega)$ entonces para $1 \leq q \leq p$ tenemos $f \in L^q(\Omega)$ y la siguiente estimación.

Question

Me dieron la desigualdad de Hölder en esta forma

Si $1 \leq p \leq \infty$ , $1/p + 1/p' = 1$ , $f \in L^p(\Omega)$ y $g \in L^{p'}(\Omega)$ entonces $fg \in L^1(\Omega)$ y $$||fg||_1 \leq ||f||_p||g||_{p'}$$

y luego el texto procede a decir que si $f \in L^p(\Omega)$ una aplicación de la desigualdad de Hölder a $f = 1\cdot f$ debería producir eso:

si $\Omega$ tiene medida finita, para $1 \leq q \leq p$ tenemos $f \in L^q(\Omega)$ y en particular

$$||f||_q \leq |\Omega|^{1/q - 1/p}||f||_p$$

pero no sé realmente cómo probar tal estimación. Puedo demostrar $f \in L^q$ Sin embargo. Aplicando Hölder a $f = 1\cdot f $ Sólo puedo conseguir que

$$||f||_1 \leq |\Omega|^{1 - 1/p}||f||_p$$

Esta pregunta es similar a este excepto que las respuestas no prueban la estimación, sólo la presentan.

Answer 1

Bien se quiere estimar $$\int |f|^q d\mu.$$ Así que seguiremos la pista y escribiremos $f = f \cdot 1$ . Esto dará un integrando de la forma $|f|^q \cdot 1$ a la que aplicaremos la desigualdad de Holder. Nos gustaría terminar con un integrando de la forma $|f|^p$ en el lado derecho para aplicar $\|f^q \cdot 1\|_1 \leq \|f^q\|_\alpha \|1\|_{\alpha'}$ con $\alpha = p/q$ . Esto da como resultado $$\int |f|^q d\mu = \int |f|^q \cdot 1 d\mu \leq \bigg(\int (|f|^q)^{p/q} d\mu\bigg)^{q/p} \bigg( \int 1^{\frac{p}{p-q}} d \mu \bigg)^{\frac{p-q}{p}}$$ por la desigualdad de Holder. Este qives $$\|f\|_q \leq \|f\|_p \cdot |\Omega|^{\frac{p-q}{pq}} = |\Omega|^{\frac1q - \frac1p} \|f\|_p$$ como se desee.