¿Densidad de número de fonones LO y LA en función de la temperatura?

Question

Me gustaría saber cómo la densidad numérica de la óptica longitudinal (LO) y la acústica longitudinal (LA) fonones varía en función de la temperatura del material. ¿Existe una expresión sencilla para estos dos casos?

Supongo que esto funcionaría,

$N_{LO} = \int g_{LO}(E) f(E, T) dE$

$N_{LA} = \int g_{LA}(E) f(E, T) dE$

donde $g(E)$ es la densidad de estados de los fonones LO y LA y $f$ es la distribución de Bose-Einstein. Cuáles serían los límites adecuados para las integrales. ¿Alguien conoce una referencia donde se dé la densidad de estados para estos dos modos?

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Para mejorar la pregunta, me interesan los cristales 3D semiconductores. Pero tal vez he dejado esto demasiado largo, lo siento.

Saludos cordiales,

Answer 1

Los distintos tipos de fonones no pueden considerarse sistemas separados. Son oscilaciones del mismo cristal e interactúan entre sí.

Por ejemplo, el tiempo de vida de los fonones LO es de aproximadamente $10^{-12}$ - $10^{-11}$ segundos mientras que el periodo de las oscilaciones es de aproximadamente $10^{-13}$ segundos (GaAs). Al final se convierte en dos fonones LA que van en direcciones opuestas.

La distribución de Bose-Einstein describe el equilibrio termodinámico de todo el sistema de fonones. Se debe integrar sobre todos los modos.

La densidad de estados puede estimarse numéricamente o medirse experimentalmente. Ambas suelen dar resultados similares que pueden encontrarse, por ejemplo, en el capítulo 3 de "Fundamentos de los semiconductores" de Peter Y. Yu y Manuel Cardona .

Las principales técnicas experimentales son

• dispersión de neutrones
• dispersión de rayos X "duros"
• Espectroscopia Raman .

Answer 2

Los fonones de LA tienen $$E=\hbar\omega=\hbar c k$$ donde $c$ es la velocidad del sonido (longitudinal), y por lo tanto tienen una densidad de estados exactamente igual a la de los fotones (con un valor diferente de ella velocidad, y un factor de 1/2 ya que sólo hay un estado de polarización) por ejemplo $$g(E)=V(\hbar c)^{-3}2^{-1}\pi^{-2} E^2$$ y esto sólo es rigurosamente cierto para valores bajos de $k$ o $E$ . Y, sólo hay $N$ modos. Un modelo común es suponer que sólo existe el número de $k$ para que haya $N$ pero que la forma de $g$ es por lo demás exacta. Este modelo "Debye" se explica razonablemente bien en la wikipedia.

Los fonones LO son una historia diferente. Aquí el modelo simple es que tienen una sola frecuencia y hay $N$ de ellos, que es un modelo más o menos de Einstein (también explicado en la wikipedia.)