Demostrar que $\overline{\int_a^b} f+g \le \overline{\int_a^b} f+\overline{\int_a^b}g$ .

Question

Demostrar que $\overline{\int_a^b} f+g \le \overline{\int_a^b} f+\overline{\int_a^b}g$ .

Intento: Utilizando el hecho de que $\sup(x+y)\le \sup(x)+\sup(y),$

$$\inf (U(P,f+g))\le \inf(U(P,f)+U(P,g))$$ para cualquier partición $P$ en $[a,b]$ .

Estoy un poco confundido aquí. ¿Es $\inf(U(P,f)+U(P,g))=\inf(U(P,f))+\inf(U(P,g))?$

Answer 1

Para demostrar por contradicción, supongamos que

$$\overline{\int_a^b} (f + g) > \overline{\int_a^b} f + \overline{\int_a^b} g.$$ Entonces existe una partición $P$ tal que $$\overline{\int_a^b} (f+g) - \overline{\int_a^b} g > U(P,f) \geqslant \overline{\int_a^b} f.$$

Desde entonces,

$$\overline{\int_a^b} (f+g) - U(P,f) > \overline{\int_a^b} g,$$ existe una partición $P’$ tal que $$\overline{\int_a^b} (f+g) - U(P,f) > U(P’,g) \geqslant \overline{\int_a^b} g,$$ y $$\overline{\int_a^b}(f+g) > U(P,f) + U(P’,g) .$$

Tomar un refinamiento común de las particiones $Q = P \cup P'$ . Como las sumas superiores disminuyen a medida que se refinan las particiones, tenemos,

$$\tag{*}U(Q,f+g) \geqslant \overline{\int_a^b} (f+g) > U(P,f) + U(P’,g) \geqslant U(Q,f) + U(Q,g).$$

Sin embargo, $\sup [f(x) + g(x)] \leqslant \sup f(x) + \sup g(x)$ y se deduce que

$$U(Q,f+g) \leqslant U(Q,f) + U(Q,g),$$

lo que contradice (*).

Answer 2

No, pero puedes probar el resultado usando el refinamiento común. Sea $\epsilon > 0$ y elegir las particiones $P$ y $Q$ tal que $$U(P,f) < \overline{\int_a^b} f + \frac{\epsilon}{2}\quad \text{and}\quad U(Q,g) < \overline{\int_a^b} g + \frac{\epsilon}{2}$$

Si $T$ sea el refinamiento común de $P$ y $Q$ , demuestran que

$$U(T,f+g) \le \overline{\int_a^b} f + \overline{\int_a^b} g + \epsilon$$

utilizando $U(T,f) \le U(P,f)$ y $U(T,g)\le U(Q,g)$ . Entonces

$$\overline{\int_a^b} (f + g) \le \overline{\int_a^b} f + \overline{\int_a^b} g + \epsilon$$

Desde $\epsilon$ era arbitraria, el resultado es el siguiente.