Distancia entre dos puntos de una esfera.

Question

Digamos que hay una esfera en la que hay una hormiga y ésta quiere ir a otro punto. La hormiga no puede viajar definitivamente a través de la esfera. Así que tiene que viajar a lo largo de una curva. Mi pregunta es cuál es la menor distancia entre los dos puntos, es decir, la distancia entre dos puntos de una esfera.

Answer 1

Si $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ y $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ son puntos de una esfera de radio $r > 0$ centrado en el origen de Euclides $3$ -espacio, la distancia de $a$ a $b$ a lo largo de la superficie de la esfera es $$ d(a, b) = r \arccos\left(\frac{a \cdot b}{r^{2}}\right) = r \arccos\left(\frac{a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}}{r^{2}}\right). $$ Para ver esto, considere el plano a través de $a$ , $b$ y el origen. Si $\theta$ es el ángulo entre los vectores $a$ y $b$ entonces $a \cdot b = r^{2} \cos\theta$ y el arco corto que une $a$ y $b$ tiene una longitud $r\theta$ .

Answer 2

Después de practicar con las Reglas del Seno/Coseno de la Trigonometría esférica y cogerles el gusto me parece que ya está hecho

fórmula

útil, sobre todo para comprobar casos especiales.

EDIT1:

La Ley de Clairauts de la geodésica dice

$ r \sin \beta = a \sin \lambda $

donde r es el radio, $a$ radio de la esfera, $\beta$ es el ángulo de la trayectoria con respecto al meridiano, y $ \lambda $ es la co-latitud.