Relaciones recíprocas en las tiradas de la ruleta/glissette

Question

Si una catenaria rueda en línea recta su foco traza una parábola y viceversa.

¿Es cierto? ¿Hay más ejemplos de este tipo y cómo están relacionados?

En el caso de un círculo que rueda sobre una recta fija tenemos una traza cicloide para un punto de la periferia del círculo y, cuando una recta rígida rueda sobre un círculo fijo se obtiene una involuta para el lugar para un punto de contacto periférico inicialmente fijo.

¿Se puede establecer una reciprocidad? En otras palabras... si (x,y) son coordenadas cartesianas y (s,R) coordenadas naturales de una curva rígida ( longitud de arco y radio de curvatura) mediante cálculo diferencial/geometría o de otra forma ¿podría existir algún tipo de relación diferencial recíproca para el par? como por ejemplo,

$$ f(x,y) \rightarrow g(s,R) ; \; g(x,y) \rightarrow f(s,R)? $$

Gracias de antemano por todas las opiniones sobre el tema.

Answer 1

Se trata de un viejo problema que se remonta a James Gregory en 1668 en "Geometriae pars universalis". Inventó una transformación entre coordenadas polares y ortonormales

$$ y=\rho, \,\, x= \int \rho\, d \theta$$

Hay identidad de longitud de arco entre la curva polar y $(x,y) $ curva por un movimiento de rodadura y el polo corre a lo largo del eje x. Un teorema de Steiner-Habich es importante en la teoría (pp 3-4 del documento I Transformación de Gregory).

Puede ver ejemplos aquí http://christophe.masurel.free.fr/#s9 Todos los artículos son de libre acceso.

También hay muchas informaciones en "Nouvelles annales de mathematiques" (1842-1927) -pero en lengua francesa-. http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?j=nam o en Gallica.fr y también en Mathesis C. Masurel