Imagen de un conjunto convexo bajo un mapa compacto

Question

¿Cómo puedo demostrar que $T(\overline\Omega)\subset\overline\Omega$ , donde $$T:\overline\Omega\rightarrow X$$ es compacto (X Banach, $\Omega\subset X$ convexo y acotado) y $$T(\partial\Omega)\subset\Omega$$

¿Es esto cierto incluso para cualquier subconjunto convexo de X?

Answer 1

Primero $\overline{\Omega}$ es un conjunto convexo, y se puede demostrar fácilmente que $T\big( \overline{\Omega} \big)$ es convexo. Además $\overline{\Omega}$ está acotado y, por tanto, por compacidad de $T$ sabemos por tanto que $T \big( \overline{\Omega} \big)$ es compacto (se puede ver por la compacidad secuencial). Por el teorema de Krein-Milman sabemos que:

$ \overline{conv} \Big( Ext \big( T\big( \overline{\Omega} \big) \big) \Big)= T\big( \overline{\Omega} \big) $

Entonces sólo queda demostrar que $Ext \big( T\big( \overline{\Omega} \big) \big)\subseteq \overline{\Omega}$ . Pero como para un conjunto dado $A$ sabemos que $Ext(A)\cap int(A)=\emptyset$ y $\partial A = \overline{A}\setminus int(A)$ sabemos entonces que $Ext(A)\subseteq \partial A$ . Aplicado a la mano del problema nos da específicamente eso:

$ Ext\Big( T\big( \overline{\Omega} \big) \Big) \subseteq T\big( \partial \Omega \big) $

Y finalmente por la suposición $T\Big( \partial \Omega \Big) \subseteq \Omega$ y por lo tanto $Ext \big( T\big( \overline{\Omega} \big) \big)\subseteq \Omega$ según sea necesario.