Una biyección entre el conjunto de todas las secuencias cuyos términos son 0 o 1, y el conjunto de todas las secuencias cuyos términos son 0, 1 o - 1.

Question

Sea X el conjunto de todas las secuencias cuyos términos son 0 o 1. Sea Y el conjunto de todas las secuencias cuyos términos son 0, 1 o - 1. Sabemos que ambos son conjuntos incontables, por la técnica diagonal de Cantor. Demos una biyección entre X e Y de forma explícita. Como X e Y son incontables, existen biyecciones a R, el conjunto de los números reales, una composición de éstas, dará una biyección entre X e Y. Pero, ¿cómo obtener una biyección explícita entre X e Y?

Answer 1

Dejemos que $X$ sea el conjunto de $\{0,1\}$ -secuencias $x=(x_1,x_2,\dots)$ y $Y$ sea el conjunto de $\{0,1,2\}$ -secuencias $y=(y_1,y_2,\ldots)$ . Denote por $X_0$ y $Y_0$ los subconjuntos de secuencias con sólo un número finito de términos $\ne0$ y por $X_\infty$ y $Y_\infty$ los subconjuntos de secuencias con infinitos términos $\ne0$ . Además, necesitamos el conjunto auxiliar $$Z:=\>]0,1]\>\sqcup\>{\mathbb N}_{\geq0}$$ ( $\>\sqcup\>$ denota la unión disjunta). Ahora producimos mapas biyectivos explícitos $$f:\>X\to Z,\qquad g:\>Y\to Z\ ,$$ para que $\psi:=g^{-1}\circ f$ mapas $X$ de forma biyectiva sobre $Y$ . A saber: $$f(x):=\left\{\eqalign{\sum_{k=1}^\infty x_k 2^{-k}\qquad&(x\in X_\infty) \cr \sum_{k=1}^\infty x_k2^{k-1}\quad&(x\in X_0)\cr}\right.\quad,\qquad g(y):=\left\{\eqalign{\sum_{k=1}^\infty y_k 3^{-k}\quad&(y\in Y_\infty) \cr \sum_{k=1}^\infty y_k3^{k-1}\quad&(y\in Y_0)\cr}\right.\quad.$$ Es bien sabido que $\tilde f:\>x\mapsto\sum_{k=1}x_k2^{-k}$ mapas $X$ de forma casi biyectiva sobre el intervalo real $[0,1]$ la exención es que las dos secuencias $(x_1,\ldots, x_r,1,0,0,0,\ldots)$ y $(x_1,\ldots, x_r,0,1,1,1,\ldots)$ están mapeados en el mismo número $\xi\in[0,1]$ . La partición $X=X_0\cup X_\infty$ recoge todas las secuencias con final cero en $X_0$ y $\tilde f$ mapas $X_\infty$ de forma biyectiva sobre $\>]0,1]$ . Las secuencias en $X_0$ se utilizan para producir números naturales finitos $n\in{\mathbb N}_{\geq0}$ mediante una representación binaria. - Del mismo modo, para $g$ .