Probar que un producto de matrices es singular

Question

Acabo de jugar con mathematica y he descubierto que parece que si $A$ es un $m\times n$ y B es una matriz $n\times m$ matriz, con $m>n$ entonces $AB$ es singular. ¿Cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

Mirando estas matrices como mapas, tenemos que $\;B:\Bbb F^m\to\Bbb F^n\;$ y por lo tanto $\;\dim\text{Im}\,B\le n\;$ Así que $\;\dim\text{Im}\,A(B)\;\le n$ .

O en pocas palabras: los mapas lineales (o matrices) no pueden aumentar la dimensión del dominio.