Para un grupo de $100$ gente al azar, encontrar:
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El número esperado de días en que cumplen años al menos 3 personas, no siendo significativo el año de nacimiento.
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El número esperado de días de cumpleaños distintos.
(Considera que el año tiene $365$ días, así que supongamos que nadie cumple años el 29 de febrero)
Mi intento:
Para la primera pregunta, mi intento consiste en escribir una variable aleatoria que cuente el número de días que cumplen años al menos $3$ personas como suma de r.v
$$X=X_1+...+X_{365}$$
De tal manera que
$$X_i=1 \text{ if at least $ 3 $ people have birthday on the ith day}$$ $$X_i=0,\text{ otherwise}$$
Mi problema es encontrar la probabilidad de $X_i=1$ . He intentado encontrar la probabilidad de que nadie cumpla años el día i y exactamente $1$ y $2$ que cumplía años en el día i y cogía el complemento, pero no funcionaba. Pensé, por ejemplo, que la probabilidad de que exactamente $2$ las personas que cumplen años en un día preestablecido i es $$\frac{\binom{100}{2} (364)^{98}}{(365)^{100}}$$ ¿Es eso correcto?
La respuesta es $0.9301$
Para la segunda, he probado algo similar, pero en este caso
$$Y_i=1 \text{ if exactly 1 people have birthday on day i}$$
Y
$$P(Y_i=1) = 100 \frac{1}{365} (\frac{364}{365})^{99}$$
No funcionó.
Gracias de antemano.
