Ejemplos de la función verde de los problemas de frontera de von Neumann.

Question

El problema de frontera de von Neumann es una EDP en $\Omega$ \begin {casos} \Delta u＝0 \\\frac { \partial u}{ \partial \vec n} \rvert_ { \Gamma }＝g \end {casos}donde $g$ se supone que es suave en $\Gamma＝\partial\Omega$ $\vec n$ es el vector normal unitario. $\Omega$ está acotado.

La función verde de este problema es $G(p,q)$ tal que \begin {casos} \Delta_p G(p,q)＝ \delta (p-q) \\ \frac { \partial_p G}{ \partial \vec n}＝0 \end {casos}

Quiero una fórmula explícita como ejemplo. cuando el dominio $\Omega$ es especial, como una esfera, un cubo, etc.

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Según la respuesta de Kenny Wong, las condiciones de $g$ debe satisfacer $\int_\Gamma gdS＝0$ y la condición de contorno para $G(p,q)$ debe cambiarse por $\frac{\partial G}{\partial\vec n}\lvert_\Gamma＝constant$ tal.que la integral de la constante es uno en $\Gamma$ .

Answer 1

Me temo que lo que voy a decir no es exactamente lo que quieres oír: tu EDP de Neumann no tiene solución para elecciones arbitrarias de $g$ .

Para ver por qué, calculemos la integral de $g$ sobre la superficie $\Gamma$ : $$ \int_\Gamma g \ dS = \int_\Gamma \frac{\partial u}{\partial n} \ dS=\int_\Omega \nabla^2 u \ dV =\int_\Omega 0\ dV = 0.$$ Por lo tanto, el valor medio de $g$ en la superficie límite $S$ debe ser cero . Si $g$ no satisface esta condición, su EDP no puede ser resuelta.

Por una razón similar, su definición de la función de Green debe ser modificada. En efecto, si integramos $\frac{\partial G}{\partial n}$ sobre la superficie $\Gamma$ encontramos que $$ \int_\Gamma \frac{\partial G(\vec r, \vec r')}{\partial n_{\vec r}}dS(\vec r) = \int_\Omega \nabla_{\vec r}^2 G(\vec r,\vec r') \ dV(\vec r) = \int_V \delta(\vec r-\vec r') \ dV(\vec r) = 1.$$ Por lo tanto, es incoherente establecer $\frac{\partial G}{\partial n}$ igual a cero en el límite $\Gamma$ .

Afortunadamente, ¡no todo está perdido! Podemos redefinir la función de Green $G$ para que satisfaga $$ \begin{cases} \nabla_{\vec r}^2 G(\vec r,\vec r') = \delta(\vec r - \vec r') &{\rm \ \ on \ \ } \Omega , \\ \frac{\partial G(\vec r, \vec r')}{\partial n_{\vec r}}=\frac 1 A & {\rm \ \ on \ \ } \Gamma, \end{cases} $$ donde $A = \int_\Gamma dS$ es el área de la superficie límite $\Gamma$ .

Ahora, la identidad de Green establece que \begin {multline} \int_\Omega \left ( u( \vec r) \nabla_ { \vec r}^2 G( \vec r , \vec r') - G( \vec r, \vec r') \nabla_ { \vec r} u( \vec r) \right ) \N - dV( \vec r) \\ = \int_\Gamma \left ( u( \vec r) \frac { \partial G( \vec r, \vec r')}{ \partial n_{ \vec r}} - G( \vec r, \vec r') \frac { \partial u( \vec r)}{ \partial n_{ \vec r}} \right ) dS( \vec r). \end {multline} Introduciendo mi nueva definición de $G(\vec r, \vec r')$ vemos que cualquier $u(\vec r)$ que satisface su PDE debe satisfacer podemos ver inmediatamente que cualquier solución de la EDP debe satisfacer $$ u(\vec r') = - \int_\Gamma G(\vec r,\vec r')g(\vec r) \ dS(\vec r) + c, \ \ \ \ \ \ (\ast )$$ donde la constante $c$ es igual a $\frac 1 A \int_\Gamma u(\vec r) dS(\vec r)$ el valor medio de $u$ en $\Gamma$ .

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Habiendo redefinido la función de Green, le daré una expresión explícita en el caso en que $\Omega$ es un disco circular bidimensional de radio $1$ . Aquí está: $$ G(\vec r, \vec r') = \tfrac 1 {2\pi} \ln | \vec r -\vec r' | + \tfrac 1 {2\pi} \ln |\vec r - \vec r''|,$$ donde $\vec r'' = \vec r'/|\vec r'|^2$ es la imagen de $r'$ bajo una inversión alrededor del círculo unitario. Es similar a la función de Green de Dirichlet, salvo que tenemos un signo más delante del término "imagen" en lugar de un signo menos.

Creo que si introduces esta función de Green en $(\ast )$ (con la constante $c$ elegida arbitrariamente), se obtiene efectivamente una solución de la EDP, siempre que $g$ obedece a la condición de consistencia $\int_\Gamma g \ dS = 0$ . Esto se indica en estas notas de clase de mi universidad, y también en Riley, Hobson y Bence, ¡aunque me encantaría ver una prueba rigurosa! Me pregunto si alguien conoce una buena referencia.