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Cómo se ve que el AdS euclidiano es el mismo que el espacio hiperbólico en la misma dimensión es decir $EAdS_n = \mathbb{H}_n = SO_0(n,1)/SO(n)$ ?
¿O se trata de la definición de AdS euclidiano?
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Ahora se pueden ver dos tipos de coordenadas globales métricas en este $EAdS_n$ ,
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como se indica en la ecuación 4.4 (página 13) de este documento .
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como se indica en la ecuación 3.11 (página 18) de este documento .
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¿Existe alguna relación natural entre ambos? ¿Y están describiendo el mismo espacio, el AdS euclidiano?
- ¿En qué sentido la descripción del segundo enlace es una foliación de $AdS_{n+1}$ por $\mathbb{R} \times \mathbb{H}_{n-1}$ ? ¿Y la existencia de dicha foliación por cilindros hiperbólicos está relacionada de alguna manera con el hecho de que el AdS euclidiano es en sí mismo el mismo que el plano hiperbólico?
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Respuesta
¿Demasiados anuncios?
1) La idea general es ver las variedades máximamente simétricas de dimensión $n$ incrustado en un colector de dimensión $n+1$ , con una restricción :
$$\epsilon_{-1} x_{-1}^2+\epsilon_0 x_{0}^2 +\sum_{i=1}^{n-1}x_i^2= \epsilon_{-1} R^2 \tag{1}$$ donde $\epsilon_{-1} =\pm1, \epsilon_0 =\pm1$ con las métricas :
$$\epsilon_{-1} dx_{-1}^2+\epsilon_0 dx_{0}^2 +\sum_{i=1}^{n-1}dx_i^2\tag{2}$$ para el colector de incrustación.
[EDITAR]
El colector de máxima simetría podría escribirse $M_n = G/L$ , donde $G$ es la simetría "global" (heredada de la colecta), y $L$ es una simetría "local". La simetría "global" es $SO(p,q)$ , donde $p$ es el número de coordenadas espaciales y $q$ el número de coordenadas temporales. La simetría local puede obtenerse a partir de la simetría global fijando la coordenada $x_{-1}$ que es una coordenada temporal si $\epsilon_{-1}=-1$ y una coordenada espacial si $\epsilon_{-1}=1$ . Así, la "simetría local" es $SO(p,q-1)$ si $\epsilon_{-1}=-1$ y $SO(p-1,q)$ si $\epsilon_{-1}=1$
[/EDIT]
Por lo tanto, tal colector maximalmente simétrico $M_n$ podría escribirse, con una fórmula general :
$$M_n = SO(n + \frac{1}{2}(\epsilon_{-1} + \epsilon_0),1-\frac{1}{2}(\epsilon_{-1} + \epsilon_0))\\/SO(n+\frac{1}{2}(\epsilon_0-1),\frac{1}{2}(1-\epsilon_0))\tag{3}$$
El $AdS_n$ corresponde al caso $\epsilon_{-1}=\epsilon_0=-1$ Así que $$AdS_n = SO(n-1,2)/SO(n-1,1)\tag{4}$$
La versión euclidiana del $AdS_n$ múltiple, corresponde a un cambio de signo de $\epsilon_0$ Es decir $\epsilon_{-1}=-1,\epsilon_0=+1$ , este es el colector :
$$H_n = SO(n,1)/SO(n)\tag{5}$$
[EDITAR]
La euclidización puede verse simplemente como la transferencia de un grado de libertad temporal a un grado de libertad espacial tanto para la simetría "global" como para la "simetría local"
[/EDIT]
2) Los dos documentos son diferentes. El segundo da las métricas para un espacio AdS, mientras que el primero hace una construcción para que aparezca $SO(N,1)$ como una continuación analítica de $SO(N+1)$ y más precisamente, partiendo de la métrica de una esfera, y haciendo alguna continuación analítica sobre las coordenadas para obtener la métrica del espacio hiperbólico.
3) En el segundo documento, la expresión del $AdS_{n+1}$ métricas podrían ser consideradas en $\tilde \tau$ constante. Con un número fijo de $\tilde \tau$ el corte espacial es un producto de una dimensión real $R$ ( $\rho$ ) por la hiperbólica $H_{n-1}$ métrica:
$ds^2(\tilde \tau$ constante) $= \frac{d\rho^2}{(\rho^2/L^2-1)}+\rho^2 \underbrace{(du^2+sinh^2(u)d\Omega^2_{(d-2)})}_{H_{n-1} metrics}$$\tag {6}$
4) "¿Y la existencia de tal foliación por cilindros hiperbólicos con el hecho de que el AdS euclidiano es el mismo que el el plano hiperbólico?"
No tengo una buena respuesta sobre este último punto, pero ten en cuenta que las dimensiones no son las mismas, la versión euclidiana es $H_{d+1}$ mientras que la foliación es $R*H_{d-1}$
