Función de curva paralela

Question

Entiendo que toda curva tiene dos curvas paralelas para cualquier distancia dada: una a ambos lados.

Encontrar curvas paralelas a algunos objetos algebraicos es sencillo, especialmente las líneas y los círculos ( $P(y,d)$ significa la curva paralela a la curva $y$ a una distancia uniforme $d$ ).

Líneas: $$y=mx+b$$ $$P(y,d)=(mx+b)±(d*) \sqrt {1 + m^2})$$

Círculos: $$y=±\sqrt{r^2-x^2}$$ $$P(y,d)=± \sqrt {(r±d)^2-x^2}$$

¿Existe algún teorema, ley, etc. para determinar cualquier curva arbitraria definida algebraicamente, como parábolas, hipérbolas, elipses, funciones exponenciales, etc.?

Answer 1

Si denotamos por $\mathbf{t}$ y $\mathbf{n}$ respectivamente la vectores tangente unitario y normal (hacia afuera) $$\mathbf{t} = \frac{1} {{\sqrt {dx^{\,2} + dy^{\,2} } }}\left( {\begin{array}{*{20}c} {dx} \\ {dy} \\ \end{array} } \right)\quad \mathbf{n} = \frac{1} {{\sqrt {dx^{\,2} + dy^{\,2} } }}\left( {\begin{array}{*{20}c} {dy} \\ { - dx} \\ \end{array} } \right)$$ la ecuación paramétrica de las curvas paralelas será (cambiando $d$ a $s$ para evitar confusiones con el diferencial) $$\left\{ \begin{gathered} x_p = x(\lambda ) \pm s\,n_{\,x} = x(\lambda ) \pm s\,\frac{{dy}} {{\sqrt {dx^{\,2} + dy^{\,2} } }} \hfill \\ y_p = y(\lambda ) \pm s\,n_{\,y} = y(\lambda ) \mp s\,\frac{{dx}} {{\sqrt {dx^{\,2} + dy^{\,2} } }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ Al poner $x(\lambda)=\lambda$ o por otros medios algebraicos lo anterior se puede convertir al caso de tener $y=y(x)$ o $F(x,y)=0)$