¿Podemos demostrar por medios finitistas (como con $\text{Con}(\text{ZFC}) \to \text{Con}(\text{ZFC + CH})$ ; véase Kunen's Set Theory, p.8) que $\text{ZFC} \vdash \text{Con}(\text{ZFC}) \Rightarrow \text{ZFC} \vdash \perp$ ? Es decir, ¿podemos demostrar que si tuviéramos alguna prueba ZFC formal de la sentencia $\text{Con}(\text{ZFC})$ que podríamos transformarlo por medios puramente finitistas ("mecánicos") en una prueba de $\text{ZFC} \vdash \perp$ ? ¿O necesitamos una metateoría más fuerte para obtener el segundo teorema de incompletitud de Gödel? ¿Tiene sentido esta pregunta?
Respuesta
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ManuelSchneid3r
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Sí, todo esto ya es bonito y finito.
Segundo teorema de incompletitud de Godel en su forma general es demostrable en un sistema muy débil - $PA$ por ejemplo, ya es masiva exceso de trabajo. Incluso $PRA$ (aritmética recursiva primitiva) es más que suficiente.
La forma general de GSIT a la que me refiero aquí es más o menos la siguiente:
Supongamos que $T$ es una teoría consistente c.e. que contiene suficiente aritmética. Entonces $T\not\vdash Con(T)$ .
Hay un par de sutilezas obvias aquí, a saber, qué significa "contiene suficiente aritmética" y qué es exactamente " $Con(T)$ " es. Estas sutilezas son no es trivial Nota: en particular, en esta pregunta estamos interesados en $T=ZFC$ En el que nuestra lengua no es el lenguaje de la aritmética.
Pero esto se puede solucionar fácilmente, aunque sea un poco técnico. Podemos definir " $Con(T)$ " - para $T$ una teoría c.e. en cualquier lenguaje finito - como es habitual en el lenguaje de la aritmética. Entonces la GSIT se formula con más precisión como:
Supongamos que $T$ es una teoría consistente c.e. en un lenguaje finito, y $\Phi$ es un Interpretación (efectiva) de La aritmética de Robinson en $T$ . Entonces $T\not\vdash\Phi(Con(T))$ .
Aquí "interpretación (efectiva)" es un término técnico, pero básicamente se refiere a una noción (puramente finitaria) de "traducción" de una teoría en un lenguaje a otro lenguaje. Para aplicar la GSIT a la ZFC de forma finitaria, sólo tenemos que producir finitariamente una $\Phi$ . Pero esto es fácil: utilizar la traducción de Ackermann y "relativizar" para $V_\omega$ .
Obsérvese que, tal vez en contra de las expectativas iniciales, la fuerza de la ZFC no supuso ninguna dificultad en este caso; de hecho, hizo que nuestra tarea más fácil facilitando la búsqueda de un $\Phi$ . La cuestión es que la forma general de la GSIT anterior se demuestra "de una vez", y no es más fácil ni más difícil demostrar que $PA$ si es consistente, no puede demostrar su propia consistencia de lo que es demostrar que $ZFC$ si es consistente, no puede demostrar su propia consistencia.
