Determinación del número de soluciones de una ecuación (matemáticas discretas)

Question

Me han puesto este problema de deberes:

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 29

Donde xi, i = 1,2,3,4,5,6, es un número entero no negativo tal que xi > 1.

También tengo que hacer esto para x1<=5, sin embargo imagino que es un proceso similar.

Entonces, mi pregunta se basa en xi>1; ¿cuál es un buen punto de partida?

Edición: Aquí hay una cosa que he intentado; no estoy seguro de que estaba en el camino correcto en absoluto: Siento como si debiera usar barras y estrellas de alguna manera ya que eso es una gran parte de lo que estamos aprendiendo, ¿una manera de hacerlo sería decir que tenemos 6 barras y 17 estrellas, usar barras y estrellas y luego multiplicar eso por el número posible de formas en que podemos ordenar las barras (es decir, x1,x3,x2,x4,x5,x6 vs x1,x2,x3,x4,x5,x6)?

Después de darme cuenta de que puedo tener un mínimo de 2 y un máximo de 19, ¿qué es un paso en la dirección correcta?

Además, me acabo de dar cuenta de que he tenido la idea en mi mente de que 2 + 2 + 2 + 2 + 19 y 19 + 2 + 2 + 2 + 2 serían soluciones diferentes, pero ahora creo que contarían como lo mismo, sólo como una aclaración, además de explicar por qué quería multiplicar por 6! en mi intento anterior

Answer 1

La función generadora es:

$$f(x)=(x^2+x^3+x^4\cdots)^6=x^{12}(1+x+x^2+x^3+\cdots)^6=x^{12}\frac{1}{(1-x)^6}=x^{12}\sum_{i=0}^{\infty}\binom{6+i-1}{i}x^i$$

entonces:

$$\binom{6+17-1}{17}=\binom{22}{17}=26334$$

Answer 2

También podemos utilizar el Estrellas y barras argumento -- asociar con cada $x_i$ la variable $y_i$ tal que $x_i = 2 + y_i$ . Entonces, tenemos un problema equivalente en:

$$\sum_{i=0}^6 y_i = 17$$

(sujeto a $y_i \ge 0$ ). Utilizando el argumento de las estrellas y las barras tenemos inmediatamente $\binom{22}{5}$ como nuestra respuesta.

Answer 3

Resuelvo un problema más sencillo. Supongamos que x1=x2=x3=2

Entonces hay 9 soluciones con x4=2.

Hay 8 soluciones con x4=3

Hay 6 soluciones con x4=4

Hay 5 soluciones con x4=5

Hay 3 soluciones con x4=6

Hay 2 soluciones con x4=7

Eso es una suma de 33 soluciones, y debemos multiplicar por 6!=720 porque supongo que las respuestas son las mismas hasta el reordenamiento de los índices.

Sin embargo, he ignorado muchas soluciones.