Si $\mathcal C$ tiene amalgama, hace $Ind(\mathcal C)$ ¿tiene amalgama?

Question

Recordemos que una categoría $\mathcal C$ tiene amalgama si cada tramo admite un cocón. Si $\mathcal C$ tiene amalgama, entonces hace $Ind(\mathcal C)$ ¿tiene amalgama?

La "forma obvia de demostrarlo" sería inducir sobre los rangos de presentabilidad de los objetos que se amalgaman, presentándolos como colímites de cadenas de objetos de menor rango de presentabilidad. Pero esto no funciona -- parece que sólo se puede demostrar la amalgama sobre objetos finitamente presentables de esta manera (es decir, para un tramo $B \leftarrow A \to C$ donde $A$ es finitamente presentable, hay un cocón).

Así que sospecho que la respuesta es no . Pero no tengo un contraejemplo.

Tenga en cuenta que si $\mathcal C$ tiene functorial amalgama, entonces algo como el intento de prueba anterior debería funcionar para demostrar que $Ind(\mathcal C)$ también lo hace. Pero no quiero suponer que la amalgama es functorial.

Answer 1

En el documento se ofrece un contraejemplo Amalgama disjunta en el AEC localmente finito por Baldwin, Koerwien y Laskowski (enlace). En realidad, están interesados en encontrar AEC en los que la amalgama se mantenga para los modelos hasta el tamaño $\aleph_k$ pero no para modelos de tamaño $\aleph_{k+1}$ para $k\in \omega$ . Dado que usted está interesado en (esencialmente) un caso especial de esto, voy a dar una versión ligeramente más simple de su construcción, que a su vez se basa en una construcción anterior de Laskowski y Shelah ( enlace ). Por supuesto, podría haber un ejemplo mucho más sencillo y puramente categórico.

Consideremos el lenguaje de primer orden $L = \{f_n\mid n\in \mathbb{N}\}$ donde el $f_n$ son símbolos de funciones binarias. Sea $K$ sea la clase de todas las $L$ -estructuras que no contienen ningún subconjunto independiente de tamaño $3$ es decir, que no hay ningún triple $(a,b,c)$ tal que $a\notin \langle b,c\rangle$ , $b\notin \langle a,c\rangle$ y $c\notin \langle a,b\rangle$ , donde $\langle X\rangle$ es la subestructura generada por $X$ .

Ahora considere la categoría $\mathcal{C}$ cuyos objetos son $K$ y cuyas flechas son incrustaciones entre estructuras en $K$ .

Reclamación: $\mathcal{C}$ tiene la propiedad de amalgama.

Supongamos que $f\colon A\to B$ y $g\colon A\to C$ son incrustaciones entre estructuras en $K$ e identificar $A$ con $f(A)\subseteq B$ y $g(A)\subseteq C$ . Sea $D$ sea la unión disjunta de $B$ y $C$ en $A$ . Para hacer $D$ en un $L$ -sólo tenemos que definir $f_n(b,c)$ cuando $b\in B\setminus A$ y $c\in C\setminus A$ . Enumerar $D$ como $d_0,\dots,d_m$ , set $f_n(b,c) = d_n$ para $n\leq m$ y $f_n(b,c) = b$ para $n>m$ . Entonces $D\in K$ ya que para cualquier triple $(d_1,d_2,d_3)$ o bien todo $d_i$ están contenidas en $B$ o todo $d_i$ están contenidas en $C$ en cuyo caso el triple no es independiente por hipótesis, o tenemos WLOG $d_1\in B\setminus A$ y $d_2\in C\setminus A$ , en cuyo caso $d_3\in \langle d_1,d_2\rangle$ por la construcción.

Reclamación: $\mathsf{Ind}(\mathcal{C})$ no tiene la propiedad de amalgama.

Podemos identificar objetos en $\mathsf{Ind}(\mathcal{C})$ con $L$ -tales que cada subestructura generada finitamente está en $K$ y flechas en $\mathsf{Ind}(\mathcal{C})$ con incrustaciones entre dichas estructuras.

Ahora es posible encontrar una estructura infinita $A$ y extensiones $B$ y $C$ , todo en $\mathsf{Ind}(\mathrm{C})$ con elementos $b\in B\setminus A$ y $c\in C\setminus A$ , de tal manera que $\langle Ab\rangle\subseteq B$ no es isomorfo sobre $A$ a una subestructura de $C$ , y de forma similar $\langle Ac\rangle\subseteq C$ no es isomorfo sobre $A$ a una subestructura de $B$ . Es decir, el tipo sin cuantificador de $b$ en $A$ no se realiza en $C$ y viceversa.

Ahora supongamos que hay una amalgama $D$ de $B$ y $C$ en $A$ y pretender que todas las incrustaciones son inclusiones. Entonces debemos tener $b\in D\setminus C$ y $c\in D\setminus B$ . Desde $\langle b,c\rangle$ es finito, hay algún $a\in A\setminus \langle b,c\rangle$ . Entonces $(a,b,c)$ es independiente. De hecho, $\langle a,b\rangle\subseteq B$ Así que $c\notin \langle a,b\rangle$ y $\langle a,c\rangle\subseteq C$ Así que $b\notin \langle a,c\rangle$ . De ello se desprende que $\langle a,b,c\rangle\notin K$ Así que $D$ no está en $\mathsf{Ind}(\mathcal{C})$ , lo cual es una contradicción.