¿Subrayado que no es un ideal?

Question

Ejercicio: Dé un ejemplo de un subring de un anillo conmutativo finito $R$ que no es un ideal de $R$ .

Hace poco me enteré de lo siguiente: Deja que $2^\Omega$ sea el conjunto de potencias de un conjunto arbitrario $\Omega$ . Para $A, B \in 2^\Omega$ definimos $A \oplus B := (A\setminus B) \cup (B\setminus A)$ y $A\odot B := A \cap B$ . Entonces $(2^\Omega, \oplus, \odot)$ es un anillo conmutativo.

Este anillo tiene las siguientes propiedades:

• El cero corresponde a $\emptyset$ .
• Uno corresponde a $\Omega$ .
• La inversa aditiva de $A \in 2^\Omega$ es $A$ .

Ahora tomemos $\Omega = \{a, b, c\}$ . Definir $M := \bigl\{\emptyset, \{a, b\}, \{c\}, \Omega\bigr\}$ . Entonces $(M, \oplus, \odot)$ es un subring de $(2^\Omega, \oplus, \odot)$ pero no es un ideal: $$\{a\} \odot \{a, b\} = \{a\} \not\in M \, .$$

¿Es eso correcto?

¿Hay ejemplos más fáciles?

Answer 1

Su ejemplo parece correcto.

Un ejemplo más fácil (al menos notablemente) parece ser: Sea $R = \mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3$ . Vemos que $S = \{(0, 0), (1, 1), (2, 2)\}$ es un subring isomorfo a $\mathbb{Z}_3$ pero $(1, 2)*(1, 1) = (1, 2)$ que no es un elemento de $S$ Por lo tanto, no puede ser un ideal.

Un ejemplo mucho más fácil (permitiendo que el anillo sea infinito): Prueba el anillo (en realidad un campo) $\mathbb{Q}$ y los enteros $\mathbb{Z}$ . Claramente $\mathbb{Z}$ es un subring de $\mathbb{Q}$ pero no es un ideal de $\mathbb{Q}$ (que sólo tiene dos ideales, $0$ y a sí mismo).

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Por supuesto, he pasado por alto el ejemplo más sencillo: Dejemos que $R = \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ y tomar $S = \{(0, 0), (1, 1)\}$ . Entonces $S$ es claramente un anillo (como en el primer ejemplo), mientras que $(1, 0)*(1, 1) = (1, 0) \notin S$ . Este es su ejemplo está en el post original, sólo que en una forma mucho más fácil de reconocer.

Answer 2

Podrías probar el anillo de números duales $\mathbb{F}_2[x]/x^2$ donde $\mathbb{F}_2$ es el campo con dos elementos. Tiene cuatro elementos y el subconjunto $\{0,1\}\cong {\mathbb{Z}}/2$ es un subringa pero no un ideal.