Dejemos que $A$ y $Q$ sean operadores lineales sobre un espacio vectorial de dimensión finita. Sabemos que que Q es nilpotente y conmuta con A. Demostrar que el operador $(A + Q)^{-1}$ es invertible si y sólo si $A$ es invertible.
Lo que he hecho hasta ahora:
Supongamos que A es invertible, que:
$$(A + Q)^{-1} = \frac{1}{A+Q} = \frac{A^{-1}}{1+A^{-1}Q} = A^{-1} \Bigl(\frac{1}{1-(-A^{-1}Q)}\Bigr)$$
Lo cual reescribí como:
$$A^{-1}\bigl(1 + (-A^{-1}Q) + (-1A^{-1}Q)^2...\bigr)$$
Ahora bien, como Q es nilpotente, significa que existen tales $m$ , de tal manera que $Q^m = 0$ .
Lo que significa, que a partir de algún término, todos los términos son cero por lo que tengo: $$A^{-1}\bigl(1 -A^{-1}Q + A^{-2}Q^2... A^{-m}Q^m(-1)^m \bigr)$$
Que muestra $(A+Q)^{-1}$ es invertible.
Mi pregunta es, ¿cómo puedo demostrar la ekvivalencia en otra dirección?
